曲线坐标
格林引入的许多重要概念，其意义延伸到了位势方程之外的领域。最先关注热方程的数学家兼工程师G·拉梅（Gabriel Lamé，1795-1870）引入了另一个重要技巧：曲线坐标系，也可以用于多种类型的方程。1833年拉梅指出，热方程只对表面垂直于坐标平面x=常数，y=常数，z=常数的导体是解出的，他想引入新的坐标系和相应坐标面。欧拉和拉普拉斯之前已经掌握了直角坐标变换到球坐标的方法，他们使用球坐标ρ、θ、Φ，坐标面ρ=常数是球面，θ=常数是平面，Φ=常数是锥面。
新坐标系和坐标曲面有两重价值，一、在直角坐标系中，一个偏微分方程可能不能分离成直角坐标系中的常微分方程，但是在另一坐标系中可能是可分离的，二、物理问题需要，如椭圆上的边界条件可以在一族以椭球面组成坐标面的坐标系中简单表示，而在直角坐标系中必须用相当复杂的方程。而且在适当坐标系中变量分离后，这个边界条件变成恰好可用于所得常微分方程的一个方程。
为了在新坐标系中解热方程，他引入了几个新坐标系，主要是三族曲面：
这三族曲面是椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面，它们具有相同焦点。一族中的任一曲面垂直地交割所有其它两族中的曲面（实际在曲率线上交割）。这个新坐标系称为椭球坐标系（拉梅称其为椭圆的，但这个名字被椭圆坐标系征用了）。
拉梅把稳态热方程（温度与时间无关）即位势方程变换到这些坐标系，并指出可以变量分离把偏微分化为三个常微分方程，当然这些方程必须在适当边界条件下求解。1839年他进一步研究在三轨椭球体中的稳态温度分布，并对1833年论文处理的问题给出了一个完全解。同时他引入了另一个曲线坐标系，现在称为球锥系，其中坐标曲面是一族球面和两族锥面。拉梅也用球锥系解过热传导问题，但主要是用椭球系写了许多热传导的论文。
互相正交的曲面族是解偏微分方程的一个重要课题，1834年拉梅考虑了任何三族互相正交的曲面的普遍性质，给出了沿用至今的方法：在任何正交坐标系中表示偏微分方程的过程。
爱德华海涅(1821-1881)沿拉梅的思路继续工作，他在1842年博士论文中不仅确定了旋转椭球体内部的（稳态温度）位势（给定位势在表面的值），而且确定了这种椭球体外部和两同焦旋转椭球面之间的壳体位势。
因为相互正交坐标系能解决很多问题，拉梅误以为所有偏微分方程都能通过寻找适当坐标系求解，后来他意识到这个问题，在1859年出版了《曲线坐标讲义》讨论整个课题。尽管三族互相正交的曲面作为坐标系不能解决所有偏微分方程，但这个新技术在许多问题的处理上占有优势。曲线坐标的使用从位势方程移植到了其它方程，如Émile Léonard Mathieu(1835-1890)在1868年处理椭圆薄膜振动问题时，引入椭圆柱坐标系处理波动方程，变换后的函数称为Mathieu函数。同年安里西·韦伯(Heinrich Weber,1842-1913)研究方程，考虑了由完整椭圆围成的区域、由两个同焦椭圆弧和与椭圆弧同焦的两双曲弧围成的区域、以及椭圆、双曲线变为同焦抛物线的特殊情形。他引进了在此坐标系中便于展开的函数，现在称为韦伯函数或抛物柱函数。
拉梅开创的想法（即使用曲线坐标）只是一个开端，后续引入了许多坐标系，以及变量分离得到的常微分方程，还有求解时得到的各种特殊函数。特殊函数理论通常是研究物理具体问题时对函数及其性质的讨论。
