两组间差异的非参数检验

检测一组数据是否为正态分布

（1）QQ图

Quantile-Quantile plot可以检视数据是否符合某种类型的分布（如正态分布），或两组分布进行比较。

步骤：
原始数据的每一个点作为一个分位数，然后找一个任意的正态分布，求出与原始数据等量的正态分布分位数。原始数据的分位数与理论的分位数画图，如果原始数据符合这种分布，点就会很好地拟合在直线上。

用法：

> set.seed(1234)
> a <- rnorm(100,mean=0,sd=2)
> set.seed(1234)
> b <- rnorm(100,mean=0,sd=4)
> qqnorm(a,main="QQ Plot")
> qqline(a)

QQ plot.png

（2）K-S test

Kolmogorov-Smirnov检验是基于累计分布函数的，用于检验一个分布是否符合某种理论分布或比较两个经验分布是否有显著差异。单样本K-S检验是用来检验一个数据的观测经验分布是否符合已知的理论分布。两样本K-S检验由于对两样本的经验分布函数的位置和形状参数的差异都敏感，所以成为比较两样本的最有用且最常用的非参数方法之一。

KS test.png

红线表示假定符合的分布（正态分布），蓝线是离散化的数据，所以呈现阶梯状。X轴表示数据值的大小，Y轴表示的数据累计所占百分比（实际上就是概率密度函数的积分）。两条线之间的最大距离也就是黑色箭头，称为D值，表示了二者之间的最大区别程度。

步骤：
提出H0；计算统计量D；用样本容量n和显著水平a查出临界值Dna；如果D < Dna，则认为拟合是满意的。
H0：数据符合正态分布（数据与正态分布没有差异）。
p-value < 0.05，拒绝H0；p-value > 0.05，不能拒绝H0。

用法：

> ks.test(a,"pnorm",mean(a),sd(a))
    One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data:  a
D = 0.10124, p-value = 0.257
alternative hypothesis: two-sided

> ks.test(a[1:30],a[31:100])  #来自同一分布的数据
    Two-sample Kolmogorov-Smirnov test
data:  a[1:30] and a[31:100]
D = 0.16667, p-value = 0.5527
alternative hypothesis: two-sided 

> ks.test(a,a+1)  #改变分布的位置
    Two-sample Kolmogorov-Smirnov test
data:  a and a + 1
D = 0.27, p-value = 0.001365
alternative hypothesis: two-sided

> ks.test(a,b)  #改变分布的形状
    Two-sample Kolmogorov-Smirnov test
data:  a and b
D = 0.27, p-value = 0.001365
alternative hypothesis: two-sided

# 如果出现K-S检验不应该有连结，表示原数据中有重复值，可以加一个随机扰动runif(length(a),-0.05,0.05)

（3）S-W test

Shapiro-Wilk检验用于验证一个随机样本数据是否来自正态分布，适用于样本量小于50的情况。

步骤：
提出H0；计算统计量W（可以看做线性回归的确定性系数）；W接近1，p > 0.05，不能拒绝H0；W小于临界值Wα，则拒绝H0。
H0：数据符合正态分布。
p-value < 0.05，拒绝H0；p-value > 0.05，不能拒绝H0。

用法：

> shapiro.test(a)
    Shapiro-Wilk normality test
data:  a
W = 0.96587, p-value = 0.01078