2019-04-29

  • 非齐次线性方程组的解
  • 定理：设A = (a_{ij})_{s\times n}
    • 1、Ax = b有解\iff r(A) = r(A,b)
    • 2、若r(A) = r(A,b) = r，则Ax = b有唯一解\iff r = n。
  • 非齐次线性方程组解的结构
  • 命题：设A = (a_{ij})_{s\times n}
    - 1、若\gamma_1,\gamma_2是Ax = b的解\iff,\gamma_1-\gamma_2是Ax = 0的解
    - 2、若\eta是Ax = 0的解，\gamma是Ax = b的解，则\gamma+\eta是Ax = b的解。
  • 定理：设r(A_{s\times n}) = r,\gamma_0是Ax = b的给定的解，\eta_1,\eta_2,...,\eta_{n-r}是Ax = 0的基础解系，则Ax = b的通解为\gamma_0+k_1\eta_1+...+k_{n-r}\eta_{n-r}
  • 向量组的极大无关组的计算
    • 若是列向量直接进行初等行变换，将具有非零首元的列拿出来即为最大无关组（线性无关，线性表示）
    • 若是行向量需要进行转置之后进行求解
  • 线性方程组的最小二乘解
    • x_0\in R^n,\lVert b-Ax_0\rVert = min_{x\in R^n}\lVert b-Ax_0\rVert ，称x_0是Ax = b的最小二乘解。
    • 定理：x_0是Ax = b的最小二乘解\iff x_0满足A^TAx_0 = A^Tb
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