微分积分简要总结

这次经历了考研,虽然很驽钝,感觉考得一般,但是既然带着学习和了解知识的目的,那么,便要总结一下我学的数学知识,不忍心让它流逝而对我没什么用处。

以我觉得,数学的知识,很初级的那些,在普通生活中用的相对较多。对于高等数学这些,对于大部分人,没什么明显的作用,估计就只是考考试,锻炼下思维。

我之所以觉得既然学了,便不能放弃,是因为:

  1. 我希望我能够有一种思维,一种总结式的思维,什么东西,都可以尝试用函数的方式来思考,这是掌握事务准则的原则。
  2. 数学真的能够锻炼人的思维方式,无论是总结、探索、观察还是推理等,都很有作用。
  3. 若是想要从事研究工作,它是必不可少的,很多的极限条件,还只能靠它来研究。
  4. 凭一句话:“数学是上帝用来书写宇宙的语言”。
arithmatic

以下的所有方法,基础点都是从函数出发,有了准确的函数,才能够有下面的方法。

这里呢,记录下感悟和理解,如有需要查看的,教科书查看之:


一 函数及其性质

我的理解: 函数是对于一个功能的描述,固定(同类或者同值)的参数传入,必定得到固定的值或者输出。简单点理解,就可以理解函数是一个功能,是一个实现了的功能。
运用: 其实函数是量与量之间的关系,是规律的表现。一个函数代表着某种规律。这就提供了一种规律思维,什么事情,要掌握规律,就试图将其“函数化”,试图找寻出其规律。
相关知识:复合函数,反函数,基本初等函数,分段函数,函数的有界性,函数的奇偶性,函数的周期性。


二 极限和连续

我的理解:极限和连续研究的是细节,深入到及其精细的地方。研究的是无限接近的情况。连续,人看来就是不断,就是连接着,而在数学上,把这种理念用定义很准确的描述了出来,在某点是否连续(不断),就是在某点上左右极限是否相同,这就保证了在着点附近无穷小的地方都是连着的。
运用:极限在知道函数时候,在需要其预估值(无穷大无穷小情况)和人的描述难以精确到的自变量的时候很有用,比如有段函数趋势图,计算其极端情况。而连续建立在极限上,主要用于分析图像于某点出的属性和特点。
相关知识:数列的极限、收敛数列之性质、函数极限、函数极限性质、无穷大无穷小、等价无穷下、洛必达法则、函数的连续和间断、极限的求法。
重要笔记:

  1. 极限求法
1. 对于0·∞、∞·∞类型,常常化为分数(对分子分母)进行同乘除处理,然后运用洛必达法则;
2. 对于∞^0、0^0、1^∞类型,常常化成e为底数的形式,对其指数求极限即可;
3. 等价无穷小(如果式子可被视为一项,则可以使用);
4. 泰勒公式;
5. 换元法;
6. 二个重要极限;
7. 对于有理式,且趋向于无穷大的,上下同除去最高项变量,进行可以得到结果;

三 一元函数微分学的概念和计算

我的理解:导数,就是y轴上的变化量除以x轴上的变化量,体现的是变化率;微分是y轴上的增量,体现的是增量。都是建立在极限基础上,可以理解成:当x变化非常非常小的时候,曲线的斜率可以用直线代替,曲线y的增量,可以用直线的增量代替,就实现了化曲为直,将所有的问题都转化成局部简单的。比如要求某个地方的增量,不好入手,变将这个地方微观化,用此处直线来代替。是从面到线到点
运用:简而言之,是一种思维:整体问题局部化
相关知识:导数的概念、导数的几何意义、高阶导数概念、可微判别、可微的几何解释、导数计算、反函数导数、参数方程导数。


四 一元函数微分学的几何应用

我的理解:极值和拐点都是建立在了一阶导数和高阶导数的基础上的,分析的是原函数图像的性质(某个区间的max和min值和转折点),函数图像的水平、铅直和斜渐近线,分析的是函数图像临界位置的问题;
运用:极值对知晓图像,分析和得到极值和最值,很有帮助;拐点对分析图像的变化趋势很有帮助;渐近线对于确定图像(值)的边界很有作用。
相关知识:极值点和驻点、判断极值点的条件、凹凸性的定义、凹凸性的充分条件、凹凸性的充要条件、渐近线的定义


五 中值定理

我的理解:主要是在知晓图像的情况下,能够结合有限的条件对图像进行深入的分析,得到图像的相关性质,都是建立在导数和微分之上的,是链接原函数和导数之间的桥梁。
运用:在知道原函数和其导数、微分的情况下,能够根据已知一些条件进行一些特性的分析,如:平均数、零点、比例等。
相关知识:有界与最值定理、介值定理、平均值定理、零点定理、费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、带拉格朗日余项的泰勒公式。


六 一元函数积分学概念与计算

我的理解:分为定积分和不定积分,不定积分求得实际上就是导数的原函数;定积分,实际上求得是函数图像围城的面积;定积分和微分相反,要了解的是宏观的问题,借助微观了解宏观。比如求非规则体型的面积,让各个很微观的长方形的面积累加起来就是,是由点到线到面到体
运用:在实际问题中,想要求不规则图形的面积,或者不规则图形环绕形成的体积、曲线环绕形成的图形的表面积时候,很有用。
相关知识点:不定积分、定积分、定积分相关性质、变限积分、变限积分求导、反常积分、积分的求解方法。
重要笔记:

  1. 积分求解
1. 结合导数目测手试法
2. 凑微分法
3. 换元法
4. 分步积分法
5. 被积分函数变形法

七 多元函数微分学

我的理解:之前所学的一元函数居多,但是像是编程,往往一个输出会受到很多输入的影响,所以多个参数,即多个因变量。再次情况下研究此函数的微分,研究各个变量的影响如:在z(x,y)单独x的影响(偏导数),单独y的影响及x,y共同的影响(全微分)。而两个变量构成的影响因素(定义域),在坐标系中实际是一块面积。相同的,在二元或者多元的情况下研究其极值、最值等特性。
运用:面临多个因变量时候的特性分析。
相关知识:偏导数、可微、偏导数连续性、多元函数微分法则、隐函数定理、多元函数的极值和最值。


八 二重积分

我的理解:这么想,一重积分,是求面积,在定义域为一条直线的时候;二重积分,定义域为一个图形面积,所求是体积;更加验证了由点到线到面到体的过程;其对称性和次序性可以用来对其进行简化。
运用:主要用于求体积。经常是极坐标和直角坐标进行转化。分析这种题目往往都是画出图(定义域面积)进行分析。
知识点:几何背景、精确定义、其性质(可加性,保号性,估值定理,中值定理,)、普通对称和轮换对称、计算(极坐标,直角坐标,互相转化,被积分的次序的转换)


九 常微分方程

我的理解:首先是方程,普通方程是讲一个数当做未知量,而微分方程,是把一个函数当做未知量;普通方程的次数就是未知量的几次方,微分方程的次数,是函数的几阶导数。
运用:目前能想到的就是在未知的时候求函数表达式。
知识点:主要就是微分方程的解法。
重要笔记:

  1. 常见的形式和解法
一、一阶齐次
(1)观察法
(2)分离变量法
(3)分子分母是x,y混合的,同除化为` y/x `形式,利用换元法` u=y/x `来处理,之后按照分离变量法即可
二、一阶非齐次
(1)、形如` dy/dx+P(x)y=Q(x) `的,直接利用公式
(2)、对于特殊形式,利用换元法
三、高阶线性微分方程
(1)可降阶的
   1.` y^(n)=f(x) `形式的,直接依据导数公式反化即可;
   2.` y''=f(x,y') `形式的,可令` y'=p,y''=dp/dx `后,按照分离变量法计算
   3.` y''=f(x,y') `形式的,可令` y'=p,y''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=dp/dy*p `后,按照分离变量法计算
(2)不可将阶的
   可分为齐次可非齐次二阶常微分方程,利用特征方程、特征根和公式来进行求解

最后编辑于
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
  • 序言:七十年代末,一起剥皮案震惊了整个滨河市,随后出现的几起案子,更是在滨河造成了极大的恐慌,老刑警刘岩,带你破解...
    沈念sama阅读 219,110评论 6 508
  • 序言:滨河连续发生了三起死亡事件,死亡现场离奇诡异,居然都是意外死亡,警方通过查阅死者的电脑和手机,发现死者居然都...
    沈念sama阅读 93,443评论 3 395
  • 文/潘晓璐 我一进店门,熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来,“玉大人,你说我怎么就摊上这事。” “怎么了?”我有些...
    开封第一讲书人阅读 165,474评论 0 356
  • 文/不坏的土叔 我叫张陵,是天一观的道长。 经常有香客问我,道长,这世上最难降的妖魔是什么? 我笑而不...
    开封第一讲书人阅读 58,881评论 1 295
  • 正文 为了忘掉前任,我火速办了婚礼,结果婚礼上,老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己,他们只是感情好,可当我...
    茶点故事阅读 67,902评论 6 392
  • 文/花漫 我一把揭开白布。 她就那样静静地躺着,像睡着了一般。 火红的嫁衣衬着肌肤如雪。 梳的纹丝不乱的头发上,一...
    开封第一讲书人阅读 51,698评论 1 305
  • 那天,我揣着相机与录音,去河边找鬼。 笑死,一个胖子当着我的面吹牛,可吹牛的内容都是我干的。 我是一名探鬼主播,决...
    沈念sama阅读 40,418评论 3 419
  • 文/苍兰香墨 我猛地睁开眼,长吁一口气:“原来是场噩梦啊……” “哼!你这毒妇竟也来了?” 一声冷哼从身侧响起,我...
    开封第一讲书人阅读 39,332评论 0 276
  • 序言:老挝万荣一对情侣失踪,失踪者是张志新(化名)和其女友刘颖,没想到半个月后,有当地人在树林里发现了一具尸体,经...
    沈念sama阅读 45,796评论 1 316
  • 正文 独居荒郊野岭守林人离奇死亡,尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋 以下内容为张勋视角 年9月15日...
    茶点故事阅读 37,968评论 3 337
  • 正文 我和宋清朗相恋三年,在试婚纱的时候发现自己被绿了。 大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
    茶点故事阅读 40,110评论 1 351
  • 序言:一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡,死状恐怖,灵堂内的尸体忽然破棺而出,到底是诈尸还是另有隐情,我是刑警宁泽,带...
    沈念sama阅读 35,792评论 5 346
  • 正文 年R本政府宣布,位于F岛的核电站,受9级特大地震影响,放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜,却给世界环境...
    茶点故事阅读 41,455评论 3 331
  • 文/蒙蒙 一、第九天 我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。 院中可真热闹,春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
    开封第一讲书人阅读 32,003评论 0 22
  • 文/苍兰香墨 我抬头看了看天上的太阳。三九已至,却和暖如春,着一层夹袄步出监牢的瞬间,已是汗流浃背。 一阵脚步声响...
    开封第一讲书人阅读 33,130评论 1 272
  • 我被黑心中介骗来泰国打工, 没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留,地道东北人。 一个月前我还...
    沈念sama阅读 48,348评论 3 373
  • 正文 我出身青楼,却偏偏与公主长得像,于是被迫代替她去往敌国和亲。 传闻我的和亲对象是个残疾皇子,可洞房花烛夜当晚...
    茶点故事阅读 45,047评论 2 355

推荐阅读更多精彩内容

  • 考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分,考试时间为180分钟 二、答题方式 答题方式为闭卷、...
    幻无名阅读 755评论 0 3
  • 考试科目:高等数学、线性代数、概率论与数理统计 考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分,考...
    Saudade_lh阅读 1,077评论 0 0
  • 2017年考研数学一大纲原文 考试科目:高等数学、线性代数、概率论与数理统计 考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考...
    SheBang_阅读 625评论 0 7
  • 问题一:开一家成功的店,有没有方法论呢? 问题二:如何让一家店增加82%的成功率呢? 这几年的生意不好做,这很显然...
    住在瓦尔登湖的占卜师阅读 880评论 6 6
  • Java注解 Annotation,注解,可理解为对代码贴上的标签。 注解的定义: 跟接口类似,只是多了一个@符号...
    御风逍遥阅读 377评论 0 0