单纯形法之几何直观简述

单纯形法解决如下问题:
给定一个N维实数向量空间\{x_i\},再给定一组线性组合等式约束条件
\sum_{i=1}^pc_{ij}x_i=b_j \tag{1}
和一组线性组合不等式的约束条件
\sum_{i=1}^qu_{ij}x_i\le v_j \tag{2}
求线性组合式s=\sum_ik_ic_i的最小值\min s


几何直观如下:

  • N维实数向量空间为欧几里德空间R^n
  • R^n中的线性组合等式(1)对应了一个线性子空间V,维度为m=n-p,子空间是一个超平面。
  • 子空间V(超平面)中的不等式约束可以对应于一个超多面体,超多面体内为可行解(同时满足等式条件和不等式条件),超多面体外部仅满足等式条件,超多面体边界处至少存在一个不等式的等号成立。
  • 理论上可以证明,满足线性组合最小值条件的可行解,或者不存在(如超多面体无下界),或者超多面体的某个顶点为最小值的解,同或者最小值解恰好是一条超多面提的一个棱边、或者一个边界面上(等等)。
  • 最小化目标线性组合函数确定了一个平行超平面族,每一个特定的组合值决定了一个超平面,该值s=0时超平面过原点,该值也等于超平面距离原点的矢量距离(带符号)。使用这一族超平面与约束条件超多面体相交,其中s最小时显然或者落在超多面体的顶点或者棱边或者边界面(边界体等等)上。
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