二维向量的旋转

在二维坐标系中，一个向量的旋转就是绕某个点的旋转，假设此点为原点，作下图：

二维向量旋转示意图

即已知向量 $\vec{OA} : (x_{A},y_{A})$ 和旋转角度 $\theta$ ，求旋转后向量 $\vec{OB} : (x_{B},y_{B})$

设 $\vec{OA}$ 的长度为 $r$ ， $\vec{OA}$ 和 $\vec{OB}$ 与 $x$ 轴的夹角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$

则 $\vec{OA}$ 和 $\vec{OB}$ 的极坐标形式分别为：

$\vec{OA}:(r\cos \alpha ,r\sin \alpha)$ 和 $\vec{OB}:(r\cos \beta,r\sin \beta)$

据图， $\beta = \alpha + \theta$ ，则：

$\begin{cases}r\cos \beta &= r\cos (\alpha+\theta) &= r(cos \alpha cos \theta -sin \alpha sin \theta) &= rcos \alpha cos \theta - rsin \alpha sin \theta \\r\sin \beta &= r\sin(\alpha+\theta) &= r(sin\alpha cos \theta +cos \alpha sin \theta) &= rsin \alpha cos \theta + rcos\alpha sin \theta \end{cases}$

把 $\begin{cases}x_{A} &= r\cos\alpha \\y_{A} &= r\sin\alpha \\x_{B} &= r\cos\beta \\y_{B} &= r\sin\beta \end{cases}$ 带入上式，则 $\begin{cases}x_{B} &= x_{A}cos\theta - y_{A}sin\theta \\y_{B} &= x_{A}sin\theta + y_{A}cos\theta \end{cases}$

即得到从一个向量到另一个向量的线性变换。若旋转中心不为原点，先平移至原点，经过上述旋转变换后再反平移回原旋转中心。

此线性变换还可以表达为矩阵乘积的形式：

用一个二阶行矩阵表示向量 $\vec{OA}$ 为： $\begin{bmatrix} x_{A} & y_{A} \end{bmatrix}$ ， $\vec{OB}$ 为 $\begin{bmatrix} x_{B} & y_{B} \end{bmatrix}$

有： $\begin{bmatrix} x_{B} & y_{B} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_{A} & y_{A} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$

则二维向量旋转 $\theta$ 度角的变换矩阵可以表示为： $R = \begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$

若朝反方向（即顺时针）旋转，只需将 $\theta$ 改为 $-\theta$ ，根据正弦函数和余弦函数的奇偶性，

得到顺时针旋转的变换矩阵： $R^{-1} = \begin{bmatrix} cos\ (-\theta) & sin\ (-\theta) \\ -sin\ (-\theta)& cos\ (-\theta) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$