Euler-Lagrange equation的推导

通过捷径泛函方式推导：

首先给定泛函数：

S=\int_{x1}^{x2}L(f(x),f(x),x)dx

已经固定两个端点x1和x2,在泛函数取到极值时函数是g(x),所谓最短路径曲线；

这里我们定义几个实验函数：h(x)=g(x)+\xi g(x)

且要保证\xi (g(x1))=\xi (g(x2))=0

此处可以看出，\xi g(x)是g(x)的变分；

我们让泛函S取得极值，则：

\sigma S=\sigma \int_{x1}^{x2}L(f(x),f(x),x)dx

即：

\int_{x1}^{x2} (dL\sigma g/dy)dx+\int_{x1}^{x2} (dL\sigma g/dy)dx

分步积分：

\int_{x1}^{x2} (dL\sigma g/dg)dx+\int_{x1}^{x2}(dL\sigma g/dy)dx -


前半部分等于零，所以后半部分也应该是零，

即：

\sigma L/\sigma g-d(dL/dg)/dx=0

这就是欧拉-拉格朗日方程了

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