什么是超平面？

前言：最近在学习特征选择算法，看到了一篇论文，里面提出了基于局部超平面的动态Relief特征选择算法。恰逢刚创博客，想着写点什么，那开篇之作不妨就介绍下什么是超平面吧

注：码字不易，转载请标明出处！！！


在我看过的有关推荐系统的书里面有这样的观点：

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当我们想了解什么是超平面，我们可以使用搜索引擎，在维基百科中，超平面是这样定义的：

在数学中，超平面是 n 维欧式空间中余维度等于 1 的子空间，即 n 维空间中的超平面是 n-1 维的子空间。这是平面中的直线，空间中的平面之推广（注：这句话很重要）

设 F 为域（为了初等起见，可考虑 F=R），n 维空间F^n中的超平面是由以下方程确定的

a_{1}x_{1} +...+a_{n}x_{n}=b

看上去很抽象，下面我将以个人的理解来讲述超平面，从数学的角度出发，不考虑物理概念。鉴于第一次写博客，经验不足，如有错误，请多多指教！


低维空间上的对超平面的简单了解

在高中的数学课本，我们应该听过，“点动成线，线动成面，面动成体”。

我们先从低维空间出发，在低维空间中简单理解超平面

在一维空间中，只有一个维度，一维坐标系

a_{1}x_{1} +b=0

在一维空间上确定了一个点

点是一维空间上的超平面


在二维空间上，有两个维度，平面直角坐标系

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b=0

在二维空间上确定了一条直线

直线是二维空间上的超平面


在三维空间上，有三个维度，三维坐标系

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+b=0

在三维空间上确定了一个平面

平面是三维空间上的超平面

以此类推到n维空间上


下面我们将给出一个比较系统的论证：

n 维空间中的超平面可以由以下方程给出

a_{1}x_{1} +...+a_{n}x_{n}+b=0       (*)

令 w 和 x 都是 n 维列向量，x 是 n 维空间上的点，w 是 n 维空间上的法向量，b 是一个实数，代表原点到超平面的距离，则

x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})^T

a=(a_{1},a_{2},...,a_{n})^T

(*) 改写为 a^Tx+b=0


在此，我们从三维空间出发

在三维空间中，平面的定义如下：

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+b=0

(注：不同地方的平面方程形式会有不同，但都可以化成上述形式，只是系数会有不同，这里为了统一，采用上述形式)

该平面方程是线性的，即由三维空间上点的三个分量的线性组合构成

显而易见，方程数量是 1 。该平面方程是建立在三维空间上的，类推到高维空间上，就有了超平面的概念。值得说的是，在物理学里，据90年代提出的M理论（超弦理论的一种），宇宙是十一维的，由震动的平面构成的。在此，我们不追究高维空间的物理意义，只研究数学概念

前面说过，超平面是平面中的直线，空间中的平面的推广。同时当维度大于3，才可以被称为超平面。

超平面的本质是自由度比空间维度小1，如何理解自由度呢

数学上，自由度是一个随机向量的维度数，也就是一个向量能被完整描述所需的最少单位向量数。（来自维基百科）

以一种简单的方式来理解吧，自由度是在当前维度空间中的点至少要给定几个分量才能确定它。在文章开头以低维空间的例子中正好说明了该点



超平面 H 是从 n 维空间到 n-1 维空间的一个映射子空间，它有一个n维向量和一个实数定义。（来自于百度百科）

我们依然从三维空间出发

三维空间中点集I=(x,y,z)满足等式（ I 为一个平面）：

Ax+By+Cz+D=0    (这里对平面方程替换了字母表示，为了后续表示方便)

A，B，C均为标量，且至少有一个不为0，不妨设 C 不为0，则

z=-\frac{A}{C}x-\frac{B}{C}y-\frac{D}{C}

则I(x,y,z)=(x,y,-\frac{A}{C}x-\frac{B}{C}y-\frac{D}{C})=x(1,0,-\frac{A}{C})+y(0,1,-\frac{B}{C})+(0,0,-\frac{D}{C})

说明该平面过(0,0,-\frac{D}{C})点，法向量为(A,B,C)

实际上此处是将 z 替换了，若换成x，y，则该平面还会过

（-\frac{D}{A },0,0)和（0,-\frac{D}{B},0)，而法向量依然是（A,B,C)

在该平面上任取一点（x_{0},y_{0},z_{0}）,显然该点和（0,0,-\frac{D}{C})的差向量与法向量（A,B,C)垂直

A(x-0)+B(y-0)+C(x-(-\frac{D}{C}))=0（平面方程的点法式）  （#）

可以写成Ax+By+Cz+D=0

我们（#）式进行变换，令非零向量n=(A,B,C),该空间中有一个点p =(0,0,-\frac{D}{C})

由（#）得到        (A,B,C)((x,y,z)-(0,0,-\frac{D}{C}))=0

则在三维空间上，超平面上的点为i，则超平面的方程为

n*(i-p)=0


进一步推广到 n 维空间上

给定 n 维空间上一个点p=(x_{1},x_{2},...,x_{n})和非零向量a=(a_{1},a_{2},...,a_{n}),满足

a*(i-p)=0

点集 i 与点 p 的差向量与 a 向量正交，则称点集 i 为通过点 p 的超平面，向量 a 为通过超平面的法向量

按照该定义，只有当维度大于3才可以成为“超”平面，但是我们仍然可以认为，直线是二维空间内的超平面，平面是三维空间内的超平面 。n 空间的超平面是 n 空间内的一个 n - 1 维的仿射子空间


总结

超平面的概念就暂时介绍到这里了，还有很多相关的概念没有叙述，比如点到超平面的距离，如何判断超平面的正反等等

其实，这些概念可以由立体几何的基础知识类推到 n 维空间上

就比如说判断超平面的正反

在二维空间的直线上，判断一个点与一条直线的位置，我们可以将该点带入直线方程中，将与 0 比较，等于0，说明在直线上，大于，小于 0 说明其在直线的左右侧

在三维空间的平面上，也是如此。类推到 n 维空间上，亦是如此！


注：文章中有些概念带有个人的理解，如有错误，请及时指正哦！

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