作者：王国波

建议先看本系列第一篇文章数学思想方法揭秘-前言(原创)。

前一篇数学思想方法揭秘-4(原创)。

  这篇文章中的题来自某知名线上app，发现讲的不怎么好。不只是一两个老师存在问题，是多个老师都有这样那样的问题：方法繁琐、有些解题不严谨、开始破题的思维过程不讲或几句带过或讲不到重点上。

    这个系列本来想封笔，但看到线上的问题，还是演示下用正确的数学思想方法指导下的解题思维过程是怎样的，特别是在解题开始阶段，草稿纸上的幕后思维过程，万事开头难，这个开局很关键。

  线上线下的数学培训，讲的大多是具体的解法，如何运用数学思想方法来指导思维过程的内容偏少。如何用数学思想方法来破题，来探索解题突破口？探索解题突破口的幕后(大脑中)和草稿纸上经历了怎样的探索思维过程？如何从解题过程碰到的挫折和弯路进行反思中找到正确的解题方法？很多数学题的讲解，这些思维过程是偏少的或缺失的，因为很多人难以有这样的思维过程。而恰好这些思维过程才是探索解题突破口的关键，这些内容的缺失导致学生的思维缺少启迪和正确的思维熏陶。老师拿着现成的答案照本宣科，或用比较挫的解法来讲解，以讹传讹，这样怎么能培养出具有高素质数学思维的学生。难怪到现在很多学生还说数学难！山中无老虎，数学老师们要加油，整体水平要提高！

  考试一考就糊，题目一讲就懂，老师讲解时用到的知识点都是学生学过的，并且很多学生都掌握的比较好，但自己当时就是没想到要用这些知识点。这种现象如何解决，大多数人的看法是一致的，也提出了可行的改进方案，但解决方案中最关键的部分，也就是对数学思想方法的学习和领悟是比较缺失的，思考能力不可能高，碰到难度大些的题，问题不会得到根本解决。

  为何说这块比较缺失，从小初高的教材和教学内容看得出来，从线上线下的教学，从公办和社会培训机构的教学看的出来。不管教学理念如何好，看具体实际，很多公办学校在高中阶段都还没有数学思想方法的专门教材，或含有数学思想方法的教材。这方面的学习靠老师在讲题时从牙缝里零星渗透一些出来，还有就是靠学生自己领悟，这个领悟过程对大多数学生一般是很漫长的。这其实是教育部的失职，没有把数学思想方法的教学放到和数学知识点等同的位置上，不要求更高的位置，至少等同都没做到。知识点是死的，也是相对容易学会的，但也是容易忘记的，但思想方法一旦掌握领悟，一辈子都难以忘记，它已经成为一种习惯，受益终身。

    这里只是对部分存在问题的题给出了解法，在我今日头条号：数学之道上对另外一些存在问题的题给出了自己认为不错的解法，我不是老师也不是数学专业毕业，工作后最近两年才开始重新接触数学解题，可能还有更好的方法，期望大家指正。

第19题(初中题)

    解方程，x、y、z均为实数。

自己解了之后，看了某知名app线上的老师讲解，如下图，倒数法，不是很好。后面没看下去，只能看前面120秒，要收费才能继续看。

上图左下角就在进行倒数变形，用倒数麻烦，画蛇添足。

直接简单的方法如下图。

这题要观察方程式特点，发现将三个方程式相乘会在式子的左右两边均出现xyz，这个也是启发我们沿着这个相乘路子走下去的蛛丝马迹，按xyz是否为0分类讨论。当xyz0时，消掉xyz变形后得到2式，观察2式左边发现是3个类似的特征式子相乘，肯定要联想到不等式。其余过程如上图。通过观察，也可发现原题中的三个方程式左边具有一定的同构特征，三个方程式还具有轮换特征。

也可以这样解，如下图，同样是利用方程与不等式的辩证关系，方程与不等式存在特殊与一般的关系，根据实际情况利用好这种关系，对此题就是突破方程边界想到不等式，将方程转化成不等式，利用不等式等号成立的条件来解题。

也可纵向观察上图中的不等式1、2、3，也就是把它们综合起来得出：x <= z <= y <= x，由这个前后都有x的两边夹逼的形式可得x=y=z，故3个不等式中的等号均成立，由等号成立，可知必有。

总结：观察，通过观察发现题目中隐藏的特征和关系、整体思想、组合思想，要有把几个分离的对象组合在一起进行集成或发生类似化学反应的思想，这个在第一篇文章中提到过组合思想，其实这个也是来自辩证法中的万物相互联系关联和整体思想以及我们明确提出的关系思想，组合思想强调把几个对象聚合整合在一起发生反应或观察它们之间的联系和相互作用，创造出新对象新关系。辩证理解分与合，适时利用分与合的关系。联想，基于形式特征的联想，联想到。

思想观念和认知决定行为影响行为，这道题的解题思维过程，要用辩证法普遍联系的观点武装头脑，指导解题思维活动和解题操作：先前讲过要搭建数学知识体系结构，要知晓知识点之间的(横向、纵向)联系，打通知识边界，做到灵活变通左右逢源，思想圆融解脱。对这道题的解题方法，就用到了方程与不等式的关系，可以相互转化。这样才能在思维心理上打破方程与不等式的界限，否则就会自我设限画地为牢：在思想上局限自己的思维，始终在方程的范围内思考，不敢大胆超越方程的知识边界想到和方程有联系的不等式。

没有真正掌握辩证法在实践中的运用，没有体会到辩证法在数学思维活动中解放思想、灵活变通的作用，就容易产生思维心理障碍，数学思维不可能灵活。

在数学解题实践中体会到了辩证法的指导作用，数学思维才算基本入门了。人心惟危，道心惟微，惟精惟一，允执厥中。继续在实践中悟道，运用之妙，存乎一心，辩证法就是变化法，思维像孙悟空那样随心所欲自由变化，则数学思维的精微玄妙尽矣！

第20题(初中题)

化简，分母有理化的竞赛题。

这题是根式化简，有理化。

分母有理化的题，分母中一般只有两个根号的比较多，这题分母有3个比较麻烦。对化简题，通常情况下，分母中根号越多就越复杂，越少越简单。对这道题，一步就将分母中根号数量减少到0比较困难，“逐步减少逐步逼近”，逐步逼近分母中根号数量为0的目标状态，这个策略应该容易想到。

首先要观察，这题主要是观察数字，发现数字之间或隐(隐藏)或显(明显)的特征，再根据这些特征，顺应这个特征，随形就势采取行动，探索解题突破口。这就是在该系列第一篇和三篇文章中讲过基于特征的联想，提过过数值特征和关系特征。

我们可以发现什么？

发现分母中2+3=5，这个就是隐藏的关系特征，但有点小障碍的地方(矛盾的地方)是它们被根号隔开。另一个是和化简相呼应，在解题行动上要减少分母中根号的个数，尽量一次性减少到0。

基于这个关系特征和我们的行动目标，我们会反问如何利用好这个特征，如何达成这个目标。有理化，我们会联想到用平方差去掉根号或减少根号，但分母中要乘以一个什么样的式子来进行平方差运算？

根据发现的2+3=5这个隐藏关系，我们应敏锐意识到应该乘以，只有这样才能利用好这个关系。大脑中很快就排除了其他式子，因为只有这个式子能较好地利用2+3=5这个关系，也就是运用平方差公式后会出现2+3-5=0，这样分母中根式的个数减少到1个，显然变简单了，离分母中根号数量为0的目标状态近了，也就是与目标状态的差异在缩小。这个也是第3篇提到的在大脑中'走几步'，平方差运算和2+3-5=0在大脑中完成了。

总结：这题要观察，抓重点，分母有理化的首要重点在分母上，抓主要矛盾，基于分母中的数值特征和关系特征展开联想和合理设想，也运用了类似联想，平时做过有理化的题。同时也体会到前面强调过的关系思想的重要性，要识别出关系，要利用好关系。

这些数学思想方法的综合运用，有机结合地运用，贯穿在我们的整个解题思维过程中，特别是解题开始阶段。思想是我们思维行动的向导和金钢钻，没有思想或没有正确的思想或思想层次不高，难以走远难以走好。

21题(初中题)

  已知正数x和y满足x+y =1 ，求的最小值。

观察，结论中两个分式相加，分子中是常量，分母是变量，感觉已知条件和结论好像不协调，相互之间不咬弦，熟悉的知识点用不上。也就是已知条件和结论存在矛盾，相互之间不呼应。

不变肯定不行，把x=y-1或y=x-1任一个代入结论式子中感觉也很繁琐，用一元二次方程判别式似乎做不出来。

怎么办?

其实问题在分子中的常量上，常量导致已知条件和所求结论的关联关系不协调不顺畅，已知条件发挥不了作用。

要把分子中的常量1去掉，要看到已知条件中的1和结论式子中的1是相同的，是有联系的，其实这个就是基于数值特征的联想。用x+y替换分子中的1，变换如下：

所以最小值为。

也可用

总结：矛盾分析法、转化变换、基于数值特征的联想。辩证灵活地看问题，辩证考虑正向与反向的关系，要能反过来使用x+y=1，也就是把1换成x+y来用，这样用心理上不要有障碍，不要有思维障碍和思维定势。对这个条件，我们一般是正向使用，如果有这种思维定势，那反过来用就容易有思维障碍，思维上不容易想到或不容易接受要反过来用，思维不能固化！

22题(初中题)

初中题，不能用三角函数中的二倍角公式，初中没学。

是求两条直角边的乘积，不是求两个直角边的长度。

角度15度，另一个锐角是75度，不是30度、45度、60度这些已知正弦和余弦值的特殊角。分析法，要求乘积，只要计算出两条直角边长度即可，但初中阶段15度角不好计算，所以放弃。另外联想到这个乘积是面积的两倍，也能关联联想到用斜边乘以斜边上的高，而斜边长度是已知的，只要求出这个高就行了，比求两条直角边要简单，因此问题转化为求斜边上的高。

如何求斜边上的高？如果对数字特征和关系思想敏感，会想到15X2 = 30，根据这个关系，我们设想是否能利用30度的角来进行求解。下一步要思考如何构造出30度的角？

基于题目中的直角三角形和图形结构，我们会联想到直角三角形的斜边的中线以及中线分出来的两个等腰三角形会导致出现两个15度角(斜边中点和直角顶点相连后直角三角形中出现两个等腰三角形，这就是直角三角形的性质特征，在这道题中就是三角形AOC和BOC为等腰，所以AOC中有两个15度角)。所以取AB斜边中点O，连接CO，作高CD，如下图。

总结：矛盾分析法、转化、基于数值特征、关系特征以及性质特征的联想。

题外，有读者说要一题多解，一题多解要有发散思维求异思维，从多角度多维度去看问题(这里指数学题)，结合多种数学思想方法，调动掌握的知识体系，寻找可能的变化点或变化的维度，这里变一变，或那里变一变，就能变出多种方法。这里举例给出这道题的7种初中解题方法，如下图，方法1就是上面的方法，最简洁。高中阶段还可以用三角函数、余弦定理，就不介绍了。

本系列主要讲数学思想方法论的核心内容，从总体上把它融汇贯通，一题多解不是本系列的重点，另外本人是业余写这个系列，不是学校老师，没多少工夫每道题都去搞一题多解，另外一个主要原因，是结合所讲的主题内容来讲的，所用的方法当然要契合主题，和主题呼应，为主题服务，不能打左灯向右转，讲的是一套，实际的方法却用的是另一套。况且有的题，我想讲述的是不落俗套的方法或最简洁巧妙的方法，就省略了一般的常规方法，此外有的题自身就只有一个方法，或受限于能力和当时思考的环境、心情情绪、身体状况，当时只能想出一种或少数几种方法。

23题(初中题)

求三角形面积

这题是初中题，没学过余弦定理。不能用余弦定理求出一个角的余弦值，之后得出正弦值，再用两边长乘积夹角正弦值来计算面积。

由于边长均为根式，根号中为质数，没有公约数，用海伦公式算面积也比较繁琐，计算量大，意识到不是出题人的本意，应该有巧妙的方法。

观察图形，它不是直角三角形，没等腰，没特殊角，也不好切割拆分化整为零来算。怎么办？

要辩证灵活思考和反思，不能拆就改为补！

要有大局观整体观，要想着将这个不规则(说它不规则是因为它没有特殊角，如90度，60度，边长有根号)的三角形补成一个规则的大图。

如果能想到将大图设想成一个矩形就比较好，即使没有如此设想，如果我们能从三个根号中的数值中发现特征也不错：，，，这个就是这组数中隐藏的平方和特征。联想到勾股定理，把作为直角三角形斜边边长，1、2、3、4作为直角边边长。在草稿纸上经过3次左右的尝试，就可构造出如下图形：

中间的三角形面积等于矩形面积减去3个直角三角形面积，计算省略。

总结：辩证思考，矛盾分析、转化问题、整体大局观、构造图形模型、对应、实验、数形结合。

通过这道题也能再次体会到具体情况中可能蕴含的表象复杂性，这几个边长是具体数字，大多数人总偏爱具体，看到具体的感觉很好，但从这些具体的数字中我们大多数人难以看出其中隐藏平方和形式特征。但如果这题的边长改成抽象形式，如上图右侧。

此时应该就容易想到要对根号中的式子稍加变形，如上图。变形之后就能联想到勾股定理，这就是抽象(动词)和抽象形式抽象模型的简单性，消除了表象复杂性。令a=1，b=3就是原题中的具体边长。

反者道之动，这里的道可以指辩证法，此处的反就是矛盾的相互转化。出题人是反过来设计这些边长的值：从抽象形式到具体数字，增加了表象复杂性。其实这个就是运用了辩证法中矛盾的相互转化来出题，来增加题目的难度和复杂性，例如抽象变具体、具体变抽象、数变形、形变数、特殊到一般、一般到特殊、从复杂转化成简单，从简单转化成复杂，从开到关、从已知到未知等等多种类型的矛盾对立统一相互转化关系。出题人用这个道来出题，利用抽象到具体来出题。我们解题也能用这个道，从具体到抽象，或拨开加在具体形式上的表象复杂性，返本归元(源)，看到其隐藏在幕后的抽象本质。

通过本系列数学思想方法揭秘-1、第三篇、第四篇和本篇的实战讲解，辩证法( 万物相互联系关联&关系、矛盾观、运动发展观、否定之否定、矛盾分析法、具体问题具体分析)到底能不能指导数学解题？还认为辩证法是空洞的，用来耍滑诡辩的？

很多人其实还没从一些小学生思想观念中解脱出来，小学算术题就是搞1+1这些具体的，先入为主搞习惯了，到后面还不能辩证地看问题，例如偏爱具体，不能正确看待抽象和具体的关系，不会应用到实践中。因为初高中乃至大学都很少给学生讲辩证法在其他学科中例如数学中的具体运用，让大多数人其实只是口头上讲辩证或认为是滑头的诡辩术，实际上根本不懂如何具体运用。即使是那些市面上的数学思想书籍，也很少能把辩证法在数学发展、数学研究和数学解题中的具体应用讲透彻，特别是数学解题中的运用很少有人能讲透彻，这个系列应该把辩证法在数学解题中的运用讲的比较透彻了。

自从一见本系列，始觉从前错用心！很多学生被人误了，耽误了糟蹋了。

类似有道题，如下图。已知三角形三条边长，求三角形面积。

可以自己想一下，原视频中是解二元二次方程，如下图。其实也可以不用解方程，构造出大图，几秒钟口算得出答案，在原视频评论中可看到我的方法。

24题(初中题)

  这道题，方程中有两个未知数x和y，按照常规，我们会解方程，或直接求出x+y。但观察题目中的两个方程式，可以发现系数是分数，且运算量大，解方程是很费功夫的，这就是题目中的矛盾，这个矛盾阻碍我们解方程。

  直接求x+y也不可行，因为两个方程中x和y的系数不一样，系数之和或之差也不相等，无法两个方程式直接相加或相减，也就是不会出现a(x+y)=b这种形式(a为系数)，再得出x+y=，出题人在设计这道题时已经把这条路堵死了。

  如何化解或转化这个矛盾？首先要意识到解方程求出x、y不是出题人的本意，当然蛮力硬解方程也是可以的，但我们不会采用这种方式，应该有巧妙的方法。

  正确的方法是，我们观察两个方程式，识别发现这两个方程式在代数式形式上有很多相似的地方，有共性，具有相同的函数或方程模式，不同的地方是自变量，一个自变量取值，另一个是。去粗取精，去伪成真，保留本质，从共性上看这两个方程式是同构的，具有同构特征。同构：多个事物之间具有相同或相似的构造、相同的结构、相同的性质属性、相同的规律。注意识别题目中的本质和表象、结构形式中蕴含的同构特征、共性特征、共性规律，利用这些同构特征、共性来解题。

  对共性和同构，我们通常的处理手段是运用抽象概括，提取共性和同构特征，构造出一个通用的、抽象的数学模型(模型可以是函数、方程、不等式、数列、几何图形等等)，一以概之，一言以蔽之，我们学的概念和很多公式、定理都是这样，众多具体情况可以用一个简洁的抽象形式的公式，一个定理来刻画。

  运用抽象思想和构造法，这两个式子可以提炼抽象成一个统一的方程式，也就是构造出如下的方程：

  这个方程其实是一元二次方程，方程的主元未知数是m，和是该方程的两个根，把x和y作为系数或常数。先前习惯认为是变量，是未知数的x和y要看成这个方程中的已知系数、常数和次要角色。

  构造思想或构造法在数学思想方法揭秘-3-5第15题和16题都有运用，可以回过头再去体会。

先前在本系列数学思想方法揭秘3-1中用太极图来讲述过辩证地看问题，在对立统一相互联系中要相互转化，相互变化。辩证法中运动发展的观点和矛盾双方相互转化都告诉我们没有什么东西是固定不变的，是一直不变一成不变的，要用于打破思维定势，不要固化观念僵化观念，要解放思想，思想自由，但不是不要思想，也不是胡思乱想，是要用正确的辩证的灵活的思想方法论来指导思维过程，遵从方法论的内在本质规律来思考。这题中，主要与次要、未知数与已知数、具体与抽象、变量与常量之间的界限和角色都发生了逆转变化：先前处于未知数、变量以及主元的x和y变成了已知数和常量（把x、y人为看作已知数、系数、常量）、次要的；两个方程式变成一个更抽象的共性的方程式，原来的两个方程式成为该抽象方程式的具体形式；从具体的数值变成了抽象的未知数m（把这两个数看做m的解，m是这两个解的未知数形式的符号表示，也就是从它的解往后溯源，返回到解的符号表示，这体现追根溯源的思维，通过逆向思维返本归元，回到本源，就像西游记中要知道妖精的原形，知道原形就知道它的来龙去脉，就好收服它，解题中也是这样，找到题目藏在幕后的本来面目，就容易直达本质，从本质出发，想到解题方法。这也类似特斯拉CEO马斯克所讲的第一性原理，对事物进行蒸馏，消除虚幻的表象，保留内在本质，基于本质来思考）。在本系列数学思想方法揭秘-1中也提到过很多要灵活辩证地来思考来看待的多个相对的概念和属性，例如主要与次要、已知与未知、变量与常量、复杂与简单、抽象与具体、一般与特殊，可以回去看看其中介绍的辩证思维词汇表。

上面的方程最终可变形如下：

这是一个关于m的一元二次方程，这个方程的根为和。

观察一次系数，其中的-x-y和我们要求的x+y有关系。联想到一元二次方程韦达定理中两根之和公式：

总结：敏锐观察发现具有共性特征：统一的同构特征。要横向和纵向多维度地对事物进行观察比较，观察它们的特征和联系；基于共性-个性特征的联想与抽象，通过抽象来提升问题层次同时达到转化的目的；灵活辩证地看问题，打破思维定势，别固化自己的观念，此一时彼一时，具体问题具体分析，该改变时就大胆改变和联想。

同构：多个具体对象(事物)具有统一(相同的)的抽象结构模式，此时我们就从多个具体对象中抽象出他们共同的模式对象，基于该模式对象的性质和特点来进行研究和解决问题。

同构特征其实是抽象和具体的一种特殊形式而已。

抽象和具体是一对多的关系，一个抽象可以包含或衍生多个具体。

例如

。这是从抽象下降到具体，一到多。

反过来，如果我们看到，应该要马上敏锐意识到它们是同构的，具有统一的抽象，要返本归源，想到这个抽象模式：。这是从具体上升到抽象，多到一。

同构问题训练，对同构再举几例：

1). 实数m和n，满足。问m和n具有什么关系？如果把题目中的n换成9-m，求m是多少？

2).初中题，解方程 。

提示：简便方法肯定不是用蛮力展开来算。如果不能在15秒内算出，就要反思下是否掌握好了同构问题，是否掌握好了一元二次方程和一元二次函数的一些知识。

3）初中题，对上道题做下推广，次数增大。 为实数，解方程 。

4）初中题，已知,求ab的值。

5）初中题，已知，且，求。

6）求方程的实数解。

提示：1） 可变形为 ，这样等式左右两边是同构的，所以可构造函数。这样就变为。由于是增函数，必有m=n，所以m和n是相等关系。

总结：观察，发现可按m和n进行归类（分类&归类&分组思想），所以变形为，继续观察比较变形后的等式，发现这个等式左右两边是同构的，有共性，所以构造出函数，构造出函数之后，思维自然就要延续到函数上，就要联想到函数的相关知识，例如函数的增减性（递增递减）、奇偶性、极值&最值、对称性、周期性、函数图像、导数等知识点，利用这些知识点来解题，这题就用到函数的递增性。

  其他几道同构题类似，都是函数的同构，识别出函数同构后，一般是运用函数的单调性和奇偶性来讨论函数自变量的关系，例如。同构不只是在等式中，在不等式中也可能存在同构特征，例如已知,证明。

  除了函数或代数式，高中求数列通项公式，有时也会碰到同构。

利用同构解决函数、方程、数列问题，首先要有敏锐的眼光，见微知著发现同构的蛛丝马迹，通过变形(移项、拼凑、分组、分离等变形)构造出同构结构，在变形过程中一般要遵循均衡、对称、高内聚低耦合原则。在函数问题中构造出同构结构后，通常要”金蝉脱壳”，脱去函数外衣，得到两个自变量的大小关系。

25题(初中题)

简单的几何题

这道题没看讲解，不知道是否有问题。

用这道题的目的主要是再次演示下如何作辅助线。

几何题中一般包含一个或多个几何对象，例如三角形对象和矩形对象，每个三角形对象又包含三条线段和三个角，它们也是几何对象。角度有度数，线段有长度，这些都是对象的属性，属性一般通过数值来度量。几何对象还有几何性质、特征，例如三角形的两边之和大于第三边，三个内角和为180度。几何对象之间一般存在关系，关系一般有结构关系(位置关系关系是结构关系中的一种)、数量关系。结构和位置关系例如两条线平行，数量关系比如两个角相等或存在倍数关系等。

如果数学题的已知条件之间、已知条件和结论之间以及题目(已知条件、结论)和知识点之间如果比较协调，相互支撑配合较好时是最好解题的，水到渠成就可得到结论。但难度大些的题，或者说为何称其为难题，就是因为题目中存在各种矛盾和障碍，也就是不协调因素，导致我们难以一眼就看穿已知条件和结论的联系，难以用上已有的知识点和经验，最终表现为难以找到解题突破口以及解题思路。

几何题中图形的结构格局和位置关系等也应该看作已知条件。

有些几何题，其图形中的结构格局不协调，结构和结论不协调或几何对象之间的关系（结构关系、位置关系、数量关系)不协调，已知条件之间不协调、或几何对象或已知条件与结论之间之间不协调。例如两条线段相距较远(结构位置关系)，它们之间虽然存在长度上的数量关系，但位置关系较远，导致数量关系在解题中不好发挥它的作用和价值。这些都会导致难以解题。

几何题作辅助线提倡自然心法，比较自然地从心中流出来，综合地运用各种数学思想方法，基于各种特征(结构特征、位置特征、各种关系特征、性质特征、数量数值特征等)来作辅助线。具体而言就是在数学思想方法(几何题中一般要运用形象思维数形结合、联想、转化、合理设想、比较、整体思想大局观、类比、分析综合、矛盾分析法、反思等)的指导下，基于几何直观，也就是观察和分析几何图形中的结构、位置、关系(分析时，对有难度的题一般要采用矛盾分析法)，顺应或根据几何图形结构、已知条件、结论三者的特点特征(结构和位置特征、数量特征、各种关系特征、几何对象的性质特征。特征不一定就是帮助解题的正面因素，如果是正面的，此时一般要顺应它；有些特征是阻碍解题的，此时一般是根据它的问题来改造转化它或改造转化和它不协调的其他特征和对象)，随形就势，顺势而为，逢山过山，逢水过水，架桥修路，移形换位(例如平移、对称、旋转等几何变换)，闪躲腾挪，有时也不排除移山填海(例如各种割和补)。辅助线的目的就是通过它来调整、改造、转化几何题的各种不协调的矛盾因素，作为沟通桥梁和润滑剂来消除不协调的障碍因素，也就是改造或转化不协调的各种关系：几何对象的结构位置关系、结构和结论的关系(理想情况下，如果有这样的结论就需要对应的结构，但现实的题中却不是这样)、数量关系、已知条件之间的关系、已知条件和结论的关系。

几何题图如何做辅助线和几何变换对初学者是一个难点，除了多练习找感觉，更要多总结经验和规律，当然应该学习很多参考书上已经总结的一些固定的口诀套路，例如倍延中线(三角形中有中线，延长中线等中线)，很多题可以根据这些口诀来作辅助线，但这里不讲这些口诀套路，要讲的是高于这类口诀的一些东西。这些在本系列第3篇中也讲过，其中提到过要顺应题目中的关系和已知条件，随形就势，基于几何直观和合理设想来作辅助线，要反问自己如何利用好题目中的已知条件和关系，是否利用了所用的已知条件。通过反问，激发自己的思维，很多情况下就可呼之欲出，自然而然作出辅助线。这里用这道题再来演示一下。

观察几何图形，基于EH=EG，角AEH=角CEG，结合分析法可以知道如果能证明对边相等和平行即可，而平行需要证明内错角相等。这个对边，根据几何直观，也就是EH=EG，以及图形结构，最可行最合适的对边要选AD、BC，而不是AB、CD。因此设想如果能证明三角形AEH全等于三角形CEG就好办了，接下来用直觉感觉和评估一下，要证明这样的全等不太好办，很快就否定了这个设想。

我们紧盯着题目中的已知条件不放，对自己做如下反问和检查：是否利用了所有的已知条件(完备，已知条件很少有多余的)，如何利用好已知条件。

这样反问，我们可以发现AE+AH=CE+CG这个已知条件(该已知条件是一个关系)应该要好好利用。基于图形的几何结构，这个关系，这个已知条件不适合直接利用。既然不能直接利用，我们就要对这个关系进行改造，进行转化之后再来间接加以利用，这就是前面关系思想中提到过的：要改造关系转化关系。

AE和AH目前是分离的，在两条不同线段上，CE和CG也是，要利用好俩线段之和相等这个关系，我们要合理设想，尝试将它们拼接到一条线段上，这就是对关系和不好的格局进行改造和转化，条件不好，不具备就要创造条件改造条件，这在第三篇中讲过。

具体如何拼接，还是要观察图形结构格局，我们应该比较自然想到要延长EA到M，令AM=AH；延长EC到N，令CN=CG，如下图。这样显然可得出EM=EN的关系，这个关系就是对先前不好利用的关系和结构进行改造之后新产生的一个关系，同时图形格局也有了新的变化。再结合先前提到的EH=EG，角AEH=角CEG条件，可得出三角形EMH全等于ENG，所以角EMH=角ENG。其余证明过程如下图。

这个简单的几何题，上面的整个思维过程，其实对有经验的人是一闪而过，几秒的时间就完成了。

有时作辅助线要根据图形结构和几何对象的性质来，有些题的辅助线是多种思想方法的综合运用的结果，多种思想方法的有机结合，这个可以体会下21题。在21题中，首先我们运用矛盾分析法，否定了一些设想之后，再联想到15和30度的倍数关系，合理设想要构造30度角，进而观察图形结构和直角三角形性质特征，联想到利用斜边中线的性质特征，就用中线作辅助线。至于作斜边上的高，是基于已经知道斜边长度，要到的结论和答案，只要再知道高就行，当然之前是运用矛盾分析法和关系转换，将两条直角边相乘转化为斜边乘以高。直角三角形一般要考虑斜边上的中线，三角形中线一般等倍延长等，这些都是为了能利用上几何对象性质上的特征，这也是一些书上总结的一些口诀套路的由来。

对复杂的几何题，也是运用这个系列中讲的那一套数学思想方法，但在几何题领域中也有它的特殊性，也要掌握一些该领域中特有的相对具体的方法，例如同一法。

总结：矛盾分析法、转化，转化关系，改造关系，改造图形结构格局、反思反问，如何利用好已知条件，是否用上了全部的已知条件，是否有遗漏。灵活辩证地快速转换/切换解题思路和行动方向。另外可以体会到，通过辅助线，可以帮助释放出原始已知条件的价值和作用和已知条件之间以及已知条件和结论之间隐藏的内在联系，没有辅助线，这些价值和作用是无法直接利用或不便于利用的。

26题

奥数几何题

如图，在ABC中，D为BC中点，A=，B=，E点在AC上且EDC=。，即三角形ABC面积与CDE面积两倍之和为。求AC长度。

这道几何题可以用两种方法来解，一种是偏计算的，不用作辅助线，要用到高中三角函数的和差公式，第二种是纯正的几何解法，只需要初中知识，但要作辅助线。

第一种方法(偏计算,使用到高中三角函数和差知识点)

观察这道题，三角形角度都为已知，可以想到三角形正弦定理，和用边长与正弦算面积的公式。D为BC中点，题目中有涉及到三角形CDE面积，所以我们选取AC和BC两条边来计算ABC的面积。

由正弦定理得：

易知=，所以，CD=CE。

完成。

note：

最繁琐的就是对的系数进行化简，三角函数和差公式具有开与合的双向作用，开就是分解裂开，例如sin()裂开成，可以理解成角度是变小的方向；合就是向上合拢，例如。

在这道题的化简中，要多次进行开与合，有时要开，有时要合，需要掌握好开与合操作的选择，运用好开与合的辩证关系。

第二种方法(初中方法)

是个特殊数值，要好好利用，很可能要在它上面做文章动脑筋，这个就是前面讲的数值特征的联想，其他的数值不好利用。

另外这个式子中一个系数是1，一个是2，数值不一致，这个面积相加的关系式不好对应到有几何意义的图形上(不容易对应到有意义的几何解释)，不好对应就导致这个式子不好直接利用，但显然我们必须要利用这个主要的已知条件，绕不过去，要想办法进行改造和转化之后间接利用。观察图形还发现，有重叠，这个因素也会导致这个面积相加关系不好对应到有意义的几何图形上，这个也是不好的因素。这就是矛盾分析法，凸显题中的矛盾。

结合这些分析，对角，我们展开联，合理设想到要构造一个等边三角形。观察图形，根据感觉，应该能自然地想到要构造如下的等边三角形。

如何改造转化中的1和2？我们的行动目标是把它们的系数变成相同，一种是找一个小三角形，让它的面积是的，这样，提取公因数2，这就好处理了。另一个方式是把这两个三角形放大。

另一个不利因素是内部，存在重叠，导致'这个面积之和'已知条件也不好利用，面积之和在图上有直观的几何意义就比较好，重叠会导致在图上难以对应有价值的几何意义，要想法把它们挪开或把一个转移出去。

结合上面构造的等边三角形，另外基于对称美感，在等边三角形中构造另一个，该和ABC全等，且在等边三角形中对称。

如图中的解释，相似比为2，面积之比为相似比平方，所以。

整个等边面积为：

=

总结：矛盾分析法凸显矛盾，数值特征联想、合理设想、构造、数学美思想/对称美。

27题( 初中)

有兴趣先看下这题的复杂解法，截图如下，网址为http://url.cn/5bcCzzo。

简洁的解法如下，解析几何坐标法

直接上图，解析几何坐标法。

总结：证明几何题过程中通常都涉及到代数运算，例如各种比例关系，勾股定理等。解析几何用代数解析式和函数方程来研究几何性质，实现了形与数的完美结合，是代数和几何的有机结合，是体现数形结合思想的天才之作。另外高中的向量法也可用在平面和立体几何中。几何题数形结合是形要结合数，不能只靠形，需要数来做定量方面的助力。

28题(初中简单几何题)

如图，中，AB=AC，线段EF交AB与E，交BC于点D，交AC的延长线于F，且BE=CF。

证明：DE=DF

这题虽然很简单，不过它适合来作为例子说明辅助线的作用，也用来体会我们前面说过的要反问自己如何利用好已知条件和结论。

观察图形结构，发现了哪些地方觉得别扭的？或感觉到哪些不爽的？

观察图形并结合已知条件，可以发现已知条件BE=CF和图形结构不协调，没有良好的相互呼应，就像开车打左灯向右转，心口不一。图形中BE与CF在位置关系上相距较远，它们也不在全等的三角形中，另外它们两条线的倾斜方向，就像两个人背对着不相互沟通交流，感觉很别扭。这些问题导致我们不能利用好BE=CF这个已知条件。观察发现的这些闹别扭，矛盾，不协调不相互呼应的地方，就是我们在前面几篇文章中提到的要改造转化的，环境不适宜，我们就改善环境。条件不好，我们就创造好的条件。要把BE、CF的位置矫正下，显然不能直接矫正它们，但我们可以矫正它们的等价替身或有关系的对象来达到间接矫正的目的，其实就是根据关系的传递性来进行矫正。

看到EF与BC交叉，结合要证明的结论以及发现别扭的地方，我们比较自然地作如下的辅助线，两种辅助线对应两种方法。第一种是过E点做CF的平行线EG交BC于G点。

总结：体会下反问自己如何利用好关系，如何用矛盾分析法发现不协调的地方，矛盾的地方。体会下辅助线的作用：调节纠正改善关系以便沟通。

通过第三篇和本篇的几个几何题，应该能更近一步体会到辅助线和几何变换的作用，其作用总结如下：

1.作为沟通媒介、桥梁和各种关系的润滑剂，对各种关系进行调节、改善、转化和疏通。

2.完善残缺的图形(一般是对图形进行向外扩张，补成大图，要有大局观，眼界要高远)和混沌未成熟的几何图形(一般是图形内部不完善，通常在原始图形内部和周边进行联线来作辅助线，添几笔来分割图形，例如找特征点连线或基于性质特征来作辅助线进行分割)，起到填补作用，补其结构上位置上的不足不协调，改善图形的结构格局，改善和纠正位置结构关系、数量关系上的不协调，为解题创造良好条件。

  在第三篇文章中提到过几何构造形，几何定理一般都有对应的图形，这个图形就是这个几何定理的几何构造形，我们基于题目的特征( 结构特征、关系特征、数值特征、几何概念和几何对象的性质特征等)，通过各种联想(特征联想、见微知著联想、接近联想、相似联想、关联联想等)、类比等找出对应的几何构造形，用这个构造形和题目中的图形进行比较，少什么就补什么。

3.通过辅助线，产生更多的对象和关系，产生滚雪球的放大效应，充分释放和挖掘出已知条件和结论中蕴含的价值和内涵。

4.拉近、聚拢集中先前分散的、位置相距较远的几何元素对象和条件，让它们靠近或联系更紧密，碰在一起容易有火花，通过组合来发生关系或创造出关系或转化关系。

如何作辅助线和几何变换,先多体会上面讲的辅助线的作用，这里也重复下：

1.基于几何对象和概念的性质特征来作辅助线，参考书上有很多口诀和套路，这个一般优先使用。

2.通过矛盾分析法，分析法、综合法、合理设想、联想、类比、反思反问、转化、关系思想、数形结合、大局观和几何直观、感觉来作。

29题(初中)

x为实数，求下列代数式的最小值

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观察这题的代数式形式，应该要联想起熟悉的知识点，它和什么长得比较像？

类似联想：感觉代数式在结构形式上和勾股定理，和直角坐标系中两点之间的距离公式比较像，比较接近，这题可看成是两个距离相加。

在这个初步感觉它们比较接近的基础上，按照距离公式做变形如下，进一步确认它确实是两点间的距离公式，从有些像变成百分百完全就是距离公式，这样也能对应出点的坐标。

把代数式中的两个根号项和两点间距离公式对应，在草稿纸上画一下，可得到3个点的坐标为：A(0,2)、B(x,0),C(12,3)

这就是数形结合，在本题中，把代数式对应到它的直观几何图形解释上，这样求代数式的最小值就转化为求两条线段(AB、BC)长度之和的最小值，这个也是构造法，构造出代数式对应的几何图形。

看到这个图形，应该可以立即联想到‘将军饮马‘问题，做(0,2)关于x轴的对称点(0,-2),根据距离公式，该对称点到(12,3)的距离13就是代数式的最小值。

总结：联想、数形结合、转化。数形结合，利用代数和几何知识之间的相互关联来转化问题，数到形，形到数，利用几何图形的直观性和数的精确性来解题。形象思维、数形结合在高中解题中也非常有用，例如看到题目中代数式的形式为一个点到两定点距离之和为定值，我们就要想到椭圆。题目中有些代数式对应的是圆方程、直线方程或斜率公式。

看到下面这个带绝对值的简单式子

你会联想对应到什么？

30题(初中多动点问题)

这题视频网址为：http://url.cn/5Epogtc。可以先看视频讲解。

动点就是运动的点，本题中动点E在线段AB上运动，F点在DC上运动。这题有两个动点，将军饮马只有一个动点。求三条线段长度之和最小值。

对这道题，要将不熟悉的两动点问题转化为熟悉的将军饮马问题(一个动点)。

两个动点都动，增加了问题的复杂性，在第3篇文章中我们使用过局部调整法，就是固定一些变化的因素，只让少数因素变化，在这道题中就是固定一个动点，只让一个变化。

直接上图。随便固定哪个点都行，我们固定F点不动。此时要取最小值，根据将军饮马，F'EC必须三点共线，这是取最小值的必要条件，第一次将军饮马。MN平行于AB，和AB距离为2，MN是DC上的多个F点关于AB对称之后产生的轨迹线(对称点的集合)。这里的F'点代表了下下个图中的'、' 等诸如此类的点。

这里透彻讲下这题中的局部调整和取最小值的必要条件。

其实可以理解成割韭菜，村里或小区每家都长有各种高度的韭菜，比如你家有多种高度的韭菜(升序排列,最小值在前面)：5厘米、12厘米、20厘米，...，。张三家也有多种高度：4厘米、6厘米、15厘米，...，。李四家也有。我们要求村里只留下高度最小的韭菜，其他全部割掉。怎么割？有种方法是分两拨割，第一拨是每家割自家的，只留下最短的，例如你家只留下5厘米的，张三家只留下4厘米的，如此类似。第二拨开始，每户把自家最短的长度报出来，和其他家的一起进行比较，选出最短的，其余全部割掉，例如你家5厘米的就被割掉了，因为它不是最短的。这道题的方法与此类似。当F点在点(点类比为你家)不动时，E点可以动，所以此时三条线段长度之和有很多种数值，但长度最小的是' +  ',  这是家最短的韭菜高度，'是点关于AB轴的对称点，此时'、E、C三点共线；类似，当F点在点(类比为张三家)不动时，三条线段长度之和也有很多，此时的最小值就是' + 'C，这是家最短的韭菜，此时'、E、C三点共线;  F点在DC上，所以还有很多家，不管有多少家，第一拨之后，每家只剩下最短的，这些最短的情况集合就是另一个将军饮马问题：河流是MN，'、'、'等等就是饮马点，这些点在MN上。将军饮马中的两个定点对应本道题中的A点与C点，将军从A点出发，到MN中的某点饮马，再去C点( 终点)。相比较而言，从每户选出来的最短集合中还有个最短的。所以第二拨就是从这个集合中，从这个将军饮马问题中，在MN上找出一个最短长度的F点(这个点是'、'、',...,等诸多点中的一个)，得到一个最短的就是本题的最终答案。

  每一次的将军饮马问题也可理解成根据三点共线(对称点、饮马点、终点)必要条件来过滤得到最小值，对这道题而言，对局部调整时的第一次将军饮马，三点共线是必要条件，不是充要，必须要共线，但即使共线，并不能选出最终的最小值，因为还有很多家，但它对每家内部取最小值来说是充要条件；对第二次而言是充要条件，它选出了最终的最小值。

还不明白就在草稿纸上多画几种情况，得到感性认识增进理解。

懂局部调整思想和它具体运用的人很快就能把题做出来，上面的详细冗余的讲解是为了尽量让不理解的人明白。

这类多动点问题，线上的几个老师都讲的不好，不得法，原因是没掌握好局部调整思想。

总结：局部调整法，它具有逐步逼近的思想、联想、转化。

  并不是所有多动点问题都可用局部调整法来解决。很多动点问题要找几个定点不动点，利用定点之间直线最短或三角形中两边之和大于等于第三边(等于是包含了当为3点共线，180度这种特殊情况)和两边之差小于等于第三边( 等于也是包含了共线的特殊情况)。有的动点问题可以用函数最值来解，有的可用不等式来解。

31题(另一道多动点问题)

这题和上一道题类似，也可运用局部调整法，固定P点，运用将军饮马类似的对称法，或者说运用取最小值的必要条件，注意不是充要条件。在草稿纸上画一下图，做对称，找出E的对称点轨迹线，就马上明白怎么做了。

可以理解成通过必要条件排除了绝大多数不能取最小值的情况，但留下来的情况还是很多，留下的情况集合可以理解成原集合的特殊子集或特殊分类。从这个特殊子集中再取唯一的最小值已经很容易了。具体怎么做，自己思考下。

这题的讲课老师也没讲到点子上，不得法。

32题(初中竞赛题)

已知三个实数a、b、c满足。求。

视频网址http://url.cn/509uDQU

这个题第一眼看到，就要根据联想起对应的知识点：。要把结论中的式子尽量往已知条件和联想起的知识点上接近靠拢，要试着用好这些已知条件和联想起的知识。

把结论中的式子展开，再变形为，所以最大值为27。

另外也可联想到的知识点，这里要考虑a、b、c可为负数。如何求ab+ac+bc的最小值可以思考下？

这里我给出另一种解法，一元二次方程的判别式法，要能联想到判别式，如下图。

要提醒的是，我们通过a-b=m和b-c=n，用换元法把结论式子中的a-b和b-c换成了m和n，让结论式子在形式上变简单，这样把复杂性移到了已知条件，这也是第一篇文章中提到的矛盾分析法中的转移矛盾，把复杂性和矛盾从结论转移到已知条件上。看上图就明白了，学数学，一定要掌握灵活辩证看问题和处理问题，要学会转化转移。

33题(全国初中数学竞赛题)

求。

是开立方。

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讲课的老师玩的是奇淫技巧，绝大多数学生很难想到，或等想到黄花菜都凉了。在没有普适的方法时可以玩技巧。

普适的实用简洁的方法直接上图，如下：

总结：合理设想猜想加待定系数法。出题人(命题人)思维在数学思想方法揭秘-3-3有提到过。出题人在题目中加入隐藏信息(条件或结论、特征)、变形的伪装马甲、组合出死结或综合多种知识点、制造矛盾(制造对立和差异或运用矛盾的相互转化，例如从抽象变到具体或具体变到抽象，从一般到特殊，从整体到局部)、无序(熵)、混淆或过河拆桥就成为了难题，但难题总有破绽，我们要用各种数学思想方法来做反向工程，返本归元，来发现它们的破绽，发现原型，进而找到解题突破口，破解题目。

大总结：这几道题仍是重复前面几篇文章中的思想方法和一些观点，用具体的题来诠释这些思想方法和观点，数学思想方法论本身内容不多，但内涵比较深刻，要多实践领悟。

下一篇：数学思想方法揭秘-6(原创)。

王国波  2019.5.7于广州