GBDT算法可以看成是由K棵树组成的加法模型：
F是所有树组成的函数空间，以回归任务为例，回归树可以看作为一个把特征向量映射为某个score的函数。 模型参数是f {k=1,2,....K}。于一般的机器学习算法不同的是，加法模型不是学习d维空间中的权重，而是直接学习函数（决策树）集合。
目标函数如下：
omega是所有树的复杂度。如何定义树的复杂度呢？比如，可以考虑树的节点数量、树的深度或者叶子节点所对应的分数的L2范数等等。
如何来学习加法模型呢？
解这一优化问题，可以用前向分布算法（forward stagewise algorithm）。因为学习的是加法模型，如果能够从前往后，每一步只学习一个基函数及其系数（结构），逐步逼近优化目标函数，那么就可以简化复杂度。这一学习过程称之为Boosting。具体地，我们从一个常量预测开始，每次学习一个新的函数，过程如下：
那么，在每一步如何决定哪一个函数f被加入呢？指导原则还是最小化目标函数。
在第t步，模型对的预测为：
，其中ft为这一轮我们要学习的函数（决策树）。这个时候目标函数可以写为：
举例说明，假设损失函数为平方损失（square loss），则目标函数为：
使用平方损失函数时，GBDT算法的每一步在生成决策树时只需要拟合前面的模型的残差。
高能预警：
根据泰勒公式把函数f(x + delta_x)在点x处二阶展开，可得到如下等式：
根据formula - 1,目标函数是关于变量
的函数，这里把yi(t-1)作为x， ft(xi)为delta_x，那么formula-1变成这样：
这里面的第一项L，就是f(x)；
那么gi就是损失函数的一阶导数，
hi为损失函数的二阶导数，
由于函数中的常量在函数最小化的过程中不起作用，因此我们可以从formula-4中移除掉常量项，得：
由于要学习的函数仅仅依赖于目标函数，从formula-5可以看出只需为学习任务定义好损失函数，并为每个训练样本计算出损失函数的一阶导数和二阶导数。所以，第t次的迭代目标就是这个，本身ft就不是一个解析式，而是一棵树，这棵树事先规定好深度，然后建立数的过程，就是使当前Obj最小，朝着这目标建树。强调一下，i从1到n意思是本次迭代在整个训练集上进行，优化得到的Obj是整体的损失函数。
这里的g 和h，都和ft无关，只和当前y和之前计算得到的输出值有关。损失函数需要事先定义，回归的话是RMSE，分类的话是logloss。可导。所以，这就是为什么xgboost可以自定义损失函数。
只要函数可一阶和二阶求导。
