很喜欢Eberhardt文章的风格，特别是那些他自己一个人写的长文章，一个人娓娓道来，有点像听老郭评书的感觉。这次也很开心可以请到他连续四周给了4个lectures，受益匪浅。
Why
is interesting?
可能一个主要原因是相比于,
WZW model, 可以用所有CFT的技巧对其求解而并不依赖半经典的supergravity描述，也就是弦论这边的计算结果可以直接和场论的弱耦合微扰计算比较。这在
理论的effective coupling 是 ’t Hooft coupling
弱耦合等效于bulk里面的AdS半径相比于弦的尺度很小，这时bulk的supergravity的描述已经不再适用。而描述的弦论worldsheet是non-linear sigma model，求解也是很不容易。How to build
?
可以用D1-D5-brane system，得到的弦论是背景具有R-R flux。
也可以用F1-NS5-branes，得到的就是纯NS-NS 背景，所以只需要考虑metric 还有 B-field or。
的对应的charge 是
类比与
:
对应的charge 是
类比与N。具有纯NS-NS 背景也是
Some facts about
WZW model是典型的的具有额外对称性的CFT。这里的额外对称性是affine Kac-moody algebra with a central extension
。
他的希尔伯特空间是由他的unitary irreducible representation决定，但是因为
: Discrete series with highest weight representation
: Continuous series without highest weight representation
除此之外，还有他们的spectral flow。 spectral flow 是李代数的一个外自同构，将一个表示映射到另外的表示。这些spectral flow的irreps 在的时候也就是可以把弦看做点粒子的时候不会起到作用，但是在有限
Strings on
Unitarity 会进一步限制不可约表示
For the irreps,
。
通过Mass-shell condition 我们会发现如下对应
discrete reps 对应了弦论的希尔伯特空间的离散sector --> short string
continuous reps 对应了弦论希尔伯特空间的连续sector --> long string
真正我们要考虑的是超对称的弦论，因为超对称，表示构成了不同的supermultiplet。Tensonless string
Tensonless string对应了的情况。这里有一个subtlety，我们不能在
解决的办法采取hybird formalism，通过field redefinition可以把worldsheet theory写成一个的WZW model。
Why
1): 这时的理论有一个free field description。
2): 因为Unitary bound，这时理论只有short multiplet：。 所以即使是对于continous reps
也不再是一个连续的参数了！也就是说这时候弦论的希尔伯特空间是离散的。
这两个facts的一个后果就是弦论的配分函数会正比于一些delta function！（这也是一般free theory 的特性，这些delta function的来源是charge conservation。）
- String on Asymptotic AdS
根据AdS/CFT duality，我们真正需要计算的是string theory with aysmptotic AdS 边界条件。所以之前的考虑的WZW model还不够。
为了保证worldsheet的conformal symmetry(弦论要well-defined)，背景必须是on-shell 的。对于AdS_3，所有on-shell 背景都是 global AdS_3的某种orbifold！如果我们要求边界具有torus (两个cycles)的拓扑，那么orbifold group只能是，对应的背景是thermal
。所以我们真正要考虑的是Z-orbifold
WZW model。
- The boundary theory dual
一个关键的对偶是
另一个关键的fact是我们定义的弦论的partition function有两个fugacity (t,T)分别对应
和
。 因为
的，限制t在某个lattice 上面。
最后一个关键的fact是 orbifold group的生成元是 。利用modular invariance可以推导出Z-orbifold 弦论的partition function，delta function还存在，使得partition function localize 到
根据(1), 我们把 identify成边界理论CFT的modular parameter, 等式(2)说明，worldsheet 的modular parameter T和 边界torus modular parameter
之间有一个holomorphic map。如果我们计算弦论的1-loop partition function，也就是要对T积分，就会发现partition function完全localize 到边界torus 的covering space 上面。所以只有和那些与边界torus holomorphic 的worldsheet才有贡献。积分后的结果正好是symmetry orbifold T^N的（grand） partition function。
- background independent
我们也可以在其他背景计算弦论的partition function。更改背景等价于改变orbifold group，但是结果是partition function总是localize到边界的torus上面。所以不同背景的弦论partition function都是相等的。
ps. Eberhardt's lecture notes 链接: https://pan.baidu.com/s/1X3PP_4YFvZOV260DHWzlMw 提取码: g6t2
pps. Lecture video https://www.bilibili.com/video/BV1Mt4y1H7sJ/?vd_source=a6100646d607f085ff412c9f2d7aca44
