CES效用函数

假设效用函数符合如下形式：
$F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\left(\int_{0}^{n} x\left(\omega_{i}\right)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} d i\right)^{\frac{\sigma}{\sigma-1}}$
其中 $\sigma>1$

替代弹性

替代弹性是指相对数量对相对价格的弹性，相对价格可以是主观相对价格（边际效用之比，类似于边际技术替代率），也可以是客观相对价格（实际价格之比），公式如下：
$\varepsilon_{s u b}=-\frac{d \ln \left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right)}{d \ln \left(\frac{F_{1}}{F_{2}}\right)}=\frac{d \ln \left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right)}{d \ln \left(\frac{F_{2}}{F_{1}}\right)}$
其中 ${F_{1}}$ 是商品1的边际效用， $\frac{F_{1}}{F_{2}}\$ 表示主观相对价格，即 $MRTS_{1,2}$ 。
均衡时，边际效用之比等于价格之比， $M R T S_{1, 2}=\frac{p_{2}}{p_{1}}$ ，此时替代弹性为：
$\varepsilon_{s u b}=\frac{d \ln \left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right)}{d \ln \left(\frac{F_{2}}{F_{1}}\right)}=\frac{d \ln \left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right)}{d \ln \left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)}，\varepsilon_{s u b}>0$

D-S框架

消费者在预算约束下实现效用最大化：
$\begin{aligned} \operatorname{Max}\left(\int_{0}^{n} x\left(\omega_{i}\right)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} d i\right)^{\frac{\sigma}{\sigma-1}} , \text {s.t.} & I=\int_{0}^{n} p\left(\omega_{i}\right) x\left(\omega_{i}\right) d i \end{aligned}$
一阶条件满足 $\left(\int_{0}^{n} x\left(\omega_{i}\right)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} d i\right)^{\frac{\sigma}{\sigma-1}-1} \cdot x\left(\omega_{i}\right)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}-1}=\lambda p\left(\omega_{i}\right)$
各商品消费比满足 $\frac{x\left(\omega_{i}\right)}{x\left(\omega_{j}\right)}=\left(\frac{p\left(\omega_{i}\right)}{p\left(\omega_{j}\right)}\right)^{-\sigma}$ ，此时商品的替代弹性 $\varepsilon_{s u b}=\sigma$
进一步，等是两边同时乘以 $p\left(\omega_{i}\right)$ 再求和，用一次约束条件后，即可求出马歇尔需求函数：
$x\left(\omega_{j}\right)=I \cdot p\left(\omega_{j}\right)^{-\sigma} /\left(\int_{0}^{n} p\left(\omega_{i}\right)^{1-\sigma} d i\right)$
由该需求函数可知，需求的价格弹性为 $\sigma$ ，即证明D-S框架中需求弹性=替代弹性。