假设
本金：A
月利率：b（就是年利率除以12）
贷款期数：c （月为单位，3年就是360期）
当前已还款月份：d（就是已经还了多少个月）

不管是等额本金还是等额本息，下个月的利息计算都是按照剩余本金来算的，所以只要计算每月还款本金就行了

等额本金

规则：每月本金相等，就是A/c
每月还款金额就是 本金减去已还款乘以月利率加上每月本金
每月还款本金：A/c
每月还款利息：（A-Ad/c）b = Ab(1-d/c)
总金额= Ab(1-d/c) + A/c
当前已还本金：Ad/c
当前已还利息：Ab(1-1/c) + Ab(1-2/c) + ....+Ab(1-d/c)
=Ab[(1-1/c)+(1-2/c) +....+ (1-d/c) ]
= Ab[d - (1+2+3+....+d)/c ]
=Ab[d - (1+2+3+....+d)/c ]
=Ab[d - d(d+1)/2c ]

等额本息

规则：每月本金和利息相加相等
假设第一个月还本金f0，第二个月f1，依次类推，最后一个月是f(c-1)
那么
一月还款：Ab + f₀
二月还款：(A-f₀)b + f1
三月还款：(A-f₀-f₁)b + f₂
依次类推
根据规则我们可以的到
一月等于二月：Ab + f₀ = (A-f₀)b + f₁
f₀=-f₀b+f₁
f₁=(1+b)f₀
二月等于三月：(A-f₀)b + f₁ = (A-f₀-f₁)b + f₂
f₁ =-f₁b + f₂
f₂=(1+b)f₁=(1+b)(1+b)f₀=(1+b)²f₀
依次类推，最后一个月的本金应该是
f_c-1=(1+b)^c-1f₀
所以总金额=f₀+f₁+f₂+.....+f_c-1
=f₀+(1+b)f₀+(1+b)²f₀+.....+(1+b)^c-1f₀
=f₀((1+b)⁰+(1+b)¹+(1+b)²+....(1+b)^c-1)
=A
简化公式
把上面的公式乘以(1+b)就得到
A(1+b)=f₀((1+b)⁰+(1+b)¹+(1+b)²+....(1+b)^c-1)(1+b)
=f₀((1+b)¹+(1+b)²+(1+b)³+....(1+b)^c)
再将他们相减
A(1+b) - A = f₀((1+b)¹+(1+b)²+(1+b)³+....(1+b)^c) - f₀((1+b)⁰+(1+b)¹+(1+b)²+....(1+b)^c-1)
=f₀((1+b)¹+(1+b)²+(1+b)³+....+(1+b)^c - (1+b)⁰ - (1+b)¹-(1+b)²-....-(1+b)^c-1)
=f₀((1+b)^c - (1+b)⁰)
最终
f₀ = Ab/((1+b)^c-1)
第一个月还的利息是Ab
总额 Ab + f₀ = Ab + Ab/((1+b)^c-1) = Ab(1+b)^c/((1+b)^c-1)
总额每个月相等
每月还款本金：Ab((1+b)^c - (1+b)^d)/((1+b)^c-1)
每月还款利息：Ab(1+b)^d/((1+b)^c-1)
计算当前已还，原理和上面差不多，直接结果
当前已还本金：A(bd(1+b)^c - (1+b)^d+1+1)/(1+b)^c-1
当前已还利息：A*((1+b)^d+1-1)/(1+b)^c-1