1.0 梯度求解PCA
在求极值的问题中，有梯度上升和梯度下降两种最优化方法。梯度上升用于求最大值，梯度下降用于求最小值。在线性回归时，为找到是损失函数最小的参数值使用了梯度下降法。
PCA中为了找到是方差计算函数最大的单位向量，应使用梯度上升法。
PCA的目标函数为方差计算函数，。使用梯度上升法，要先对其求导。
分别对求导，可得：
将以上n式化成矩阵形式，得到梯度：
有了梯度就可以使用梯度上升法求解方差最大值了。
2.0 求n个主成分
2.1 基本思想
在实际的降维过程可能会涉及到数据在多个维度的降维，这就需要依次求解多个主成分。
求解第一个主成分后，假设得到映射的轴为所表示的向量，如果此时需要求解第二个主成分怎么做？答案是：需要先将数据集在第一个主成分上的分量去掉，然后在没有第一个主成分的基础上再寻找第二个主成分。
如上图所示，在第一主成分
上的分量为
，也就是图中蓝色的向量，其模长等于
和
的点积。由于
是单位向量，向量的模长乘以方向上的单位向量就可以得到这个向量。
而求下一个主成分就是将数据在第一主成分上的分量去掉，再对新的数据求第一主成分。那么如何去掉第一主成分呢？用样本减去分量
，得到结果的几何意义就是一条与第一主成分垂直的一个轴。这个轴就是样本数据去除第一主成分分量后得到的结果，即图中的绿色部分：
。
然后在新的样本中求第一主成分，得到的就是第二主成分。循环往复就可以求第n主成分。
