一、 $\int_{- \infty}^{\infty} e^{-x^2}dx$ 的计算

设 $I = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2}dx$ ，做变量替换： $x = ut, u>0$ ，则：

$\implies I = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2}dx = \int_{0}^{\infty} e^{-u^2t^2} udt$

$\implies e^{-u^2} I = \int_{0}^{\infty} e^{-u^2(1 + t^2)} udt$

$\implies I \int_{0}^{\infty} e^{-u^2} du = I^2 = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-u^2(1 + t^2)} udtdu$

$\implies I^2 = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-u^2(1 + t^2)} ududt = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{dt}{1 + t^2}$

$\implies I^2 = \frac{\pi}{4} \implies I = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

$\implies \int_{- \infty}^{\infty} e^{-x^2}dx = 2I = \sqrt{\pi}$

二、伽玛函数的计算

伽玛函数的定义为 $\Gamma (x) = \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt$ ，通过分部积分可得：

$\Gamma(x +1) = x \Gamma(x)$ ，则：

$\implies \Gamma( \frac{1}{2} ) = \int_{0}^{\infty} t^{-\frac{1}{2} } e^{-t} dt = \int_{0}^{\infty} u^{-1} e^{-u^2} 2udu = \sqrt{\pi}$

$\implies \Gamma( \frac{2k + 1}{2} ) = \frac{ \prod_{i=0}^{k - 1} 2i + 1 }{ 2^k } \sqrt{\pi} = \frac{ (2k - 1)!! }{ 2^k } \sqrt{\pi}, k = 1, 2, \dots$

三、 $\int_{- \infty}^{\infty} x^{2k} e^{-x^2}dx$ 的计算

由（二）中伽玛函数的结果可得，其中 $k = 1, 2, \dots$ ：

$\Gamma( \frac{2k + 1}{2} ) = \int_{0}^{\infty} t^{ \frac{2k - 1}{2} } e^{-t} dt$ ，做变量替换： $t = u^2, u > 0$ ，则：

$\implies \Gamma( \frac{2k + 1}{2} ) = 2 \int_{0}^{\infty} u^{2k} e^{-u^2} du = \int_{- \infty }^{\infty} u^{2k} e^{-u^2} du$

$\implies \int_{- \infty }^{\infty} x^{2k} e^{-x^2} du = \frac{ \prod_{i=0}^{k - 1} 2i + 1 }{ 2^k } \sqrt{\pi} = \frac{ (2k - 1)!! }{ 2^k } \sqrt{\pi}, k = 1, 2, \dots$