闭集

定义9： 设 $X$ 是一个距离空间， $A\subset X$ ，若 $d(x,a) = \inf_{a \in A} d(x,a) = 0$ ，则称 $x$ 为 $A$ 的闭包点（或接触点）。

定义10： 设 $X$ 是一个距离空间， $A\subset X$ ， $A$ 的接触点（闭包点）的全体称为 $A$ 的闭包，记为 $\bar A$ 。

定义11：设 $X$ 是一个距离空间， $A\subset X$ ， $A$ 是闭集当且仅当 $A=$ $\bar A$ 。

注：闭集可以理解为：在闭集里极限运算是封闭的。

下确界：一个集合的最大下界；上确界：一个集合的最小上界。

可分的距离空间

背景知识：实数空间中，有理数是稠密的，有理数是可数的。也就是说任何一个实数可以用有理数来逼近。

定义14：设 $A$ ， $B$ 是距离空间 $X$ 中的点集，如果 $\bar B \supset A$ ，则称 $B$ 在 $A$ 中稠密。
注意：定义中并没有要求 $B \subset A$ 。

也就是说 $A$ 中的每一点都可以用 $B$ 中的点来逼近。逼近是个极限的概念，逼近的意思是无限接近（要多近就有多近）但永远不会相等。

定义17：（可分距离空间）设 $X$ 是距离空间，如果 $X$ 中存在一个可数稠密子集，则称 $X$ 是可分的。

注1：可分空间 $X$ 中的任意一点可通过一个可数集来近似逼近，并且对于 $\forall \varepsilon > 0,\bigcup\nolimits_{k = 1}^\infty {B\left( {{x_k},\varepsilon } \right) = X}$ 。

注2：距离空间是否可分，与空间上距离的定义密切相关。距离定义不同，实际逼近效果不同。

在数学分析中，闭区间上的连续函数有着很好的性质。

定义23：设 $A$ 是距离空间 $X$ 中的一个子集，如果 $A$ 中的每一个无穷点列都有一个收敛的子列，则称为 $A$ 是列紧的集合，闭的列紧集称为是自列紧集。距离空间 $X$ 称为是列紧的。

注1：自列紧集是有界闭集。

注2：在一般的距离空间中，有界的闭集不一定是列紧的

定理24： $C[a,b]$ 中的子集 $A$ 是列紧的当且仅当 $A$ 中的函数(函数一般强调是函数值，映射以后的值)是一致有界和等度连续的。