闭集
定义9： 设是一个距离空间，
，若
，则称
为
的闭包点（或接触点）。
定义10： 设是一个距离空间，
，
的接触点（闭包点）的全体称为
的闭包，记为
。
定义11：设是一个距离空间，
，
是闭集当且仅当
。
注：闭集可以理解为：在闭集里极限运算是封闭的。
下确界：一个集合的最大下界；上确界：一个集合的最小上界。
可分的距离空间
背景知识：实数空间中，有理数是稠密的，有理数是可数的。也就是说任何一个实数可以用有理数来逼近。
推广到一般的空间上去
定义14：设，
是距离空间
中的点集，如果
，则称
在
中稠密。
注意：定义中并没有要求。
也就是说中的每一点都可以用
中的点来逼近。逼近是个极限的概念，逼近的意思是无限接近（要多近就有多近）但永远不会相等。
定义17：（可分距离空间）设是距离空间，如果
中存在一个可数稠密子集，则称
是可分的。
注1：可分空间中的任意一点可通过一个可数集来近似逼近，并且对于
。
注2：距离空间是否可分，与空间上距离的定义密切相关。距离定义不同，实际逼近效果不同。
列紧的距离空间
在数学分析中，闭区间上的连续函数有着很好的性质。
- 闭区间满足有限覆盖定理。
- 进一步地，平面上的有界闭集也有这样的性质。
- 我们把具有这样性质的集合，抽象为紧集（紧空间）。
定义23：设是距离空间
中的一个子集，如果
中的每一个无穷点列都有一个收敛的子列，则称为
是列紧的集合，闭的列紧集称为是自列紧集。距离空间
称为是列紧的。
注1：自列紧集是有界闭集。
注2：在一般的距离空间中，有界的闭集不一定是列紧的
定理24：中的子集
是列紧的当且仅当
中的函数(函数一般强调是函数值，映射以后的值)是一致有界和等度连续的。
