专题：单位根+同时相似对角化

单位根

例题

例2.6证明：对任意非负整数n，均有x^{2}+x+1\left|x^{n+2}+(x+1)^{2 n+1}\right.
例2.16（西南大学2006）设\sum_{i=0}^{n-1} x^{i} p_{i}\left(x^{i n}\right)=p\left(x^{n}\right)，且(x-1)|p(x)，其中p_i(x)(0\leq i\leq n-1,p(x))均为实系数多项式，证明：
(1)p_{i}(x)=0(i=1, \cdots, n-1)
(2)p(x)=0
(3)p_0(1)=0

参考文献

http://www.52gd.org/?p=227

同时相似对角化

例题

例2.1A，B为n阶方阵，且A有n个不同特征值\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}，且AB=BA.则存在可逆矩阵P使得P^{-1}AP，P^{-1}BP同时为对角阵.并且B可以唯一表示为A次数不超过n-1的多项式.

参考文献

http://www.52gd.org/?p=149

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