分治法

分治法的思想是：将原问题分解成若干个规模较小但是与原问题类似的问题，递归地求解这些子问题，然后再合并这些子问题的解来建立原问题的解。

分治法在每层递归时都有三个步骤：

• 分解： 将原问题分解为若干个子问题，这些问题是原问题的规模较小的实例
• 解决： 递归求解子问题，若子问题规模足够小，则直接求解
• 合并： 合并这些子问题的解成原问题的解。

归并排序

归并排序就是采用分治法的思想。

• 分解： 分解待排序的个元素的序列成各具个元素的两个子序列。
• 解决： 递归排序两个子序列。
• 合并： 合并两个已排序的子序列以产生已排序的答案。

其递归思想如下图所示

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将数组分为含有个元素的两个数组，然后分别递归排序，然后再次拆分，直到最后只剩一个元素。然后开始归并。这个算法的难点在于子序列的合并，合并思想如下

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首先需要创建一个数组，我们记为，数组的长度为两个子序列之和。从两个子序列的最左端开始，谁的元素小（大）就将谁的放入到中。

归并排序代码实现

public class MergeSort {

    public static int[] sort(int[] arr, int start, int end) {
        if (start == end) {
            // 如果开始索引和结束索引相等，说明只需处理一个元素，所以直接返回此元素即可。
            return new int[] {arr[start]};
        } else {
            // 这里减一不减一都可以，如果减一是把奇数元素的子序列放到了最右边，否则是放到了最左边来处理
            // 等价于(end-start)/2，由于位运算速度更快，所以这里使用位运算。
            int half = ((end - start - 1) >> 1);
            int[] left = sort(arr, start, start + half);
            int[] right = sort(arr, start + half + 1, end);

            // 合并子序列
            int maxLength = left.length + right.length;
            int[] mergeArr = new int[maxLength];
            int lIndex = 0;
            int rIndex = 0;
            for (int i = 0; i < maxLength; i++) {
                if (lIndex < left.length && rIndex < right.length) {
                    if (left[lIndex] <= right[rIndex]) {
                        mergeArr[i] = left[lIndex];
                        lIndex++;
                    } else {
                        mergeArr[i] = right[rIndex];
                        rIndex++;
                    }
                } else if (lIndex < left.length) {
                    mergeArr[i] = left[lIndex];
                    lIndex++;
                } else {
                    mergeArr[i] = right[rIndex];
                    rIndex++;
                }

            }
            return mergeArr;
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {2, 5, 1, 8, 9, 7, 6, 12, 4};
        int[] sortRes = sort(arr, 0, arr.length - 1);
        for (int i : sortRes) {
            System.out.printf("%d\t", i);
        }
        System.out.println();
    }
}

时间复杂度分析

我们先看递归深度，从上面的图中我们能看出递归深度应该是。有根节点所以加一，最后一级如果不是满树的状态会被忽略掉。

设，那么递归式的和为（从0开始是为了方便计算）。此算法中的基本操作就是合并，假设第一层的时间复杂度是次，第二层每个递归就是，以此类推，最后得到总的时间复杂度为：

舍去常数项和对算法影响较小的项最终就是或者写为在算法中通常表示以2为底的对数。