三角恒等变换

一、三角恒等变换公式

两角和差的公式

$\sin( \alpha \pm \beta )=\sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$

$\cos( \alpha \pm \beta )=\cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$

$\tan(\alpha\pm \beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot \tan\beta}$

二倍角公式

$\sin( 2\alpha )=2\sin\alpha \cos\alpha$

$\cos(2\alpha)=\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha =2\cos^2 \alpha-1 =1-2\sin^2 \alpha$

$\tan(\alpha\pm \beta)=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha }$

半角公式

$\sin\frac{\alpha}{2} =\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2} }$

$\cos\frac{\alpha}{2} =\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2} }$

$\tan\frac{\alpha}{2} =\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha} } =\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$

辅助角公式

$a\sin\alpha\pm b\cos\alpha=\sqrt{a^2+ b^2}\sin(\alpha\pm\varphi)(辅助角由点（a，b）决定，\tan\varphi =\frac{b}{a} )$

和差化积公式

$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot \cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$

$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot \sin(\frac{\alpha-\beta}{2})$

$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot \cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$

$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot \sin(\frac{\alpha-\beta}{2})$

积化和差公式

$\sin\alpha\cdot \cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$

$\cos\alpha\cdot \cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]$

$\sin\alpha\cdot \sin\beta=-\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]$

题型一：

三角恒等变换

一、三角恒等变换公式

两角和差的公式

二倍角公式

半角公式

辅助角公式

和差化积公式

积化和差公式

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