在多要素所构成的系统中，当研究某一个要素对另一个要素的影响或相关程度时，把其他要素的影响视作常数（保持不变），即暂时不考虑其他要素影响，单独研究两个要素之间的相互关系的密切程度，所得数值结果为偏相关系数。也就是我们在论文中看到的control variables（Age, educateion, gender）等与实验无关的变量Z，但是又影响因变量Y。

在多元回归分析中，在消除其他变量影响的条件下，所计算的某两变量之间的相关系数。在多元相关分析中，简单相关系数可能不能够真实的反映出变量X和Y之间的相关性，因为变量之间的关系很复杂，它们可能受到不止一个变量的影响。这个时候偏相关系数是一个更好的选择。

假设我们需要计算X和Y之间的相关性，Z代表其他所有的变量，X和Y的偏相关系数可以认为是X和Z线性回归得到的残差Rx与Y和Z线性回归得到的残差Ry之间的简单相关系数，即pearson相关系数。

得到便相关系数partial correlation coefficient。 x,y是想要分析相关的变量，z是想要control的变量。

R，Matlab 和spss上实现：

R method 1：借助工具包“dplyr"里面的函数pcor.test

library(dplyr)

stats2 <- pcor.test(X,Y,Z,method="pearson")

methods:"pearson", "spearman"，"kendall"

Results：

R method 2：用定义，借助工具包“stats"里面的cor.test,lm，residuals函数

library（stats）

r1 <- residuals(lm(formula=X~Z))

r2 <- residuals(lm(formula=Y～Z))

stats3 <- cor.test(r1,r2,method="pearson")

这样写lm 函数，线性回归拟合的方程为：X=B1*Z+B01; Y= B2*Z+B02, 默认线性回归的函数是有截距的。

Results：

Matlab:利用partialcorr 函数

[rho,p_value] = partialcorr(X,Y,Z,'type','Pearson');

Results:

Matlab method 2：用回归误差相关的思路来求偏相关系数（错误代码示例）

[B1,BINT1,R1,RINT1] = regress(X,Z); 

[B2,BINT2,R2,RINT2] = regress(Y,Z); 

[rho,p_value] = corr(R1,R2,'type','Pearson');

这样写regress 函数，线性回归拟合的方程为：X=B1*Z; Y= B2*Z，默认回归函数没有截距。

Results:

注意：结果不一样，貌似做了同样的事情，得不到相同的结果。其实是因为Matlab regress函数的特殊用法，需要一个全一向量来占位b0

 正确代码示例

[B1,BINT1,R1,RINT1] = regress(X,[ones(size(Z,1),1),Z]); 

[B2,BINT2,R2,RINT2] = regress(Y,[ones(size(Z,1),1),Z]); 

[rho,p_value] = corr(R1,R2,'type','Pearson');

这样写regress 函数，线性回归拟合的方程为：X=B1（1，1）*1+B1（1，2）*Z; Y= B2（1，1）*1+B2（1，2）*Z. 由于regress默认回归函数没有截距，所以要自己添加一个全1的向量，回归结果中这个时候B1（1，2）（B2（1，2））才是变量Z的系数，B1（1，1）（B1（1，2））是截距.

Results：结果与上面一致了

SPSS：

Results：