十年高考数列真题解答：数列A组~等差数列的最值

数列大题A组：入门级考题

2008年理数海南卷题17（12分）

已知 \{a_n\} 是一个等差数列，且 a_2=1,a_5=-5.

（1）求 \{a_n\} 的通项 a_n；

（2）求 \{a_n\} 前 n 项和 S_n 的最大值.

2018年理科数学全国卷二题17（12分）

记 S_n 为等差数列 \{a_n\} 的前 n 项和，已知 a_1=-7,\; S_3=-15.

（1）求 \{a_n\} 的通项公式；

（2）求 S_n，并求 S_n的最小值。

【公式回顾】

a_n=a_1 + (n-1)d

S_n=na_1 + \dfrac{1}{2}n(n-1)d

S_n=\dfrac{1}{2}n(a_1+a_n)

S_n-S_{n-1}=a_n

【解答2008年第1问】

依题意可知：a_1+d=1，a_1+4d=-5

\Rightarrow 3d=-6\Rightarrow d=-2,a_1=3

a_n=a_1+(n-1)d=5-2n

\{a_n\} 的通项公式为 a_n=5-2n.

【解答2008年第2问】

S_{n}-S_{n-1} = a_n

a_n=5-2n \Rightarrow a_2=1, a_3=-1

\forall\;n \lt 3, a_n \gt 0, a_n \gt a_{n-1}

\forall\; n \geqslant 3, a_n \lt 0, a_{n} \lt a_{n-1}

当 n=2 时， S_n 取得最大值：S_{max}=S_2=a_1+a_2=4

【解答2018年第1问】

依题意可知：S_3=3a_1+3d=-15

而已知 a_1=-7，所以 3d=6, d=2

a_n=-7+(n-1)\cdot 2=2n-9

\{a_n\} 的通项公式为：a_n=2n-9.

【解答2018年第1问】

S_n=na_1+\dfrac{1}{2}n(n-1)d=n^2-8n

S_n-S_{n-1}=a_n

a_4=-1, a_5=1

\forall\; 1 \leqslant n \lt 5, a_n \lt 0\;\Rightarrow\; S_n \lt s_{n-1}

\forall\;n \geqslant 5, a_n \gt 0 \;\Rightarrow\;S_n \gt s_{n-1}

\therefore S_{min}=S_4=-16

【提炼与提高】

2018年全国卷二的数列大题与2008年海南卷高度相似，都属于入门级的考题。

对于这类问题，牢记基本公式，按部就班即可解答。

需要注意的是，最值点不要搞错了。保险起见，可以用具体值看一下。以2008年为例：

a_4=-1\;\Rightarrow S_4=S_3-1 \lt S_3

a_5=1\;\Rightarrow S_5=S_4+1 \gt S_4

数列是特殊的函数。讨论数列的和的最值一般有两种方法。对于等差数列，根据 a_n 的正负判断 S_n 的单调性是最方便的，对于一些特殊的数列，可能需要用另外一种方法：导数法。

参见以下真题：2013年理科数学全国卷二题16

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