作者：肖剑华
- 可视化是前端可视化
- 图形是计算机图形学
- 向量就是那个向量，高中学过的，你懂的
- 树是那棵贼丑的树
结果
首先先看看本文最终的结果。
是不是贼丑！是不是能在画展上卖个好价格！
过程
好了，话不多说， 看看这棵贼丑的树是怎么诞生的吧。
坐标系
坐标系，或者说平面直角坐标系，是几何图形学的基础，其次是点、线、面这些元素。
坐标系大家都很熟悉， 最初接触坐标系应该是初中， 那时候的坐标系不知大家还有没有印象。
原点在中间， 水平轴是 x 轴， 竖轴是 y 轴， 分为四个象限。
但是呢, html canvas 这货， 默认原点在左上角， x 轴是跟平面直角坐标系是一致的， y 轴是向下的！！
相信这种坐标轴在日常工作中使用 canvas 绘图给前端人不知道造成过多少麻烦， 计算起来费事费力， 还容易出 bug。
那么如何把 canvas 的坐标系变成平面直角坐标系呢
Maaaaaaaaagic!
const canvas = document.querySelector('canvas')
const ctx = canvas.getContext('2d')
// 我们这里把原点定位在canvas左下角
ctx.translate(0, canvas.height)
// 关键步骤： 将canvasY轴方向翻转
ctx.scale(1, -1)
两行代码， 就完成了对坐标系的翻转。
我们用一个 🌰 来验证一下
假设，我们要在宽 512 * 高 256 的一个 Canvas 画布上实现如下的视觉效果。其中，山的高度是 100，底边 200，两座山的中心位置到中线的距离都是 80，太阳的圆心高度是 150。
我们这里使用 rough.js 增加一下趣味性
<canvas
width="512"
height="256"
style="display: block;margin: 0 auto;background-color: #ccc"
></canvas>
const canvas = document.querySelector('canvas')
const rc = rough.canvas(canvas)
rc.ctx.translate(0, canvas.height)
rc.ctx.scale(1, -1)
const cSun = [canvas.width / 2, 106]
const diameter = 100 // 直径
const hill1Points = {
start: [76, 0], // 起始点
top: [176, 100], // 顶点
end: [276, 0] // 终点
}
const hill2Points = {
start: [236, 0], // 起始点
top: [336, 100], // 顶点
end: [436, 0] // 终点
}
const hill1Options = {
roughness: 0.8,
stokeWidth: 2,
fill: 'pink'
}
const hill2Options = {
roughness: 0.8,
stokeWidth: 2,
fill: 'chocolate'
}
function createHillPath(point) {
const { start, top, end } = point
return `M${start[0]} ${start[1]}L${top[0]} ${top[1]}L${end[0]} ${end[1]}`
}
function paint() {
rc.path(createHillPath(hill1Points), hill1Options)
rc.path(createHillPath(hill2Points), hill2Options)
rc.circle(cSun[0], cSun[1], diameter, {
stroke: 'red',
strokeWidth: 4,
fill: 'rgba(255, 255, 0, 0.4)',
fillStyle: 'solid'
})
}
paint()
这里我们翻转了坐标系， 定义了 mountain1，mountain2，太阳 的各个点的坐标， 完全是参照直角坐标系的坐标。
最终的实现效果如下
（是不是也能在画展上卖个不错的价格）
向量
定义
说完直角坐标系的转换， 我们来讨论今天的正主， 向量（Vector）
向量的普遍定义是具有大小和方向的量， 我们这里讨论的向量是 几何向量， 是用一组平面直角坐标系的坐标表示的
例如 (1, 1), 意思是， 顶点坐标为 x 为 1，y 为 0 的一条有向线段， 向量的方向是由 原点(0, 0) 指向顶点(1,1)的方向。
换言之， 知道了向量的顶点， 就知道了向量的大小和方向
向量的模
向量的大小也叫向量的模，是向量坐标的平方和的算术平方根， length = Math.pow((x2 + y2), 0.5)。
向量的方向
向量的方向一方面可以使用向量的顶点表示。
另外一方面使用向量和 x 轴的夹角，也能够表示一个向量。
使用 javascript Math 的内置方法可以得到，计算方式：
// 构造函数在本文稍后的地方介绍
const v = new Vector2D(1, 10)
const dir = Math.atan2(v.y, v.x)
四则运算
加减法
示意图:
如图所示： 向量 v1(x1, y1)和向量 v2(x2, y2)相加得到的新的向量就是两个向量对应坐标之和, 用公式表达就是
v1(x1, y1) + v2(x2, y2) = v3(x1 + x2, y1 + y2)
反之就是减法 v3(x1 + x2, y1 + y2) - v2 (x2, y2)= v1(x1, y1)
乘除
向量乘法有 叉乘和点乘
点乘示意图：
物理意义是， 方向为 va 方向，大小为 va.length 的力， 沿 vb 方向拉动 vb.length 距离所做的功
va * vb = va.length * vb.length * cos(rad)
叉乘示意图：
va * vb = va.length * va.length * sin(rad)
也可以理解为长度为 va.length 的线段沿着 vb 方向移动到 vb 顶点扫过的面积， 反之就是除法
乘除这里仅做概念上的介绍
单位向量
长度为 1 的向量叫做单位向量， 满足这个条件的向量有无数条， 一个非 0 的向量除以他的模，就是这个向量的单位向量， 我们取与 x 轴夹角为 0 的向量：[1, 0]作为单位向量
向量的旋转
将一个向量转动一定的角度 rad 之后的向量该如何计算呢。
这里有比较复杂的推导过程， 因此可以直接记住结论。
具体代码在下面构造函数里面展示
构造器
// 用一个长度为2的数组表示一个向量， 下标为0的位置表示x 下标为1的位置表示 y
class Vector2D extends Array {
constructor(x = 1, y = 0) {
super(x, y)
}
get x() {
return this[0]
}
get y() {
return this[1]
}
set x(v) {
this[0] = v
}
set y(v) {
this[1] = v
}
add(v) {
this.x = this.x + v.x
this.y = this.y + v.y
return this
}
length() {
return Math.hypot(this.x, this.y)
}
rotate(rad) {
const c = Math.cos(rad)
const s = Math.sin(rad)
const [x, y] = this
this.x = x * c + y * -s
this.y = x * s + y * c
return this
}
}
至此，画出文章开头的那个图形的基本要素都已经准备好了。
下面， 让我们来见证一下世界名画的产生。
动手画图
- 准备一个 512 * 512 的画布
<html>
...
<canvas
width="512"
height="512"
style="display:block;margin:0 auto;background-color: #ccc"
></canvas>
...
</html>
- 翻转 canvas 坐标系
const canvas = document.querySelector('canvas')
const ctx = canvas.getContext('2d')
ctx.translate(0, canvas.height)
ctx.scale(1, -1)
- 定义绘制树枝的方法
/**
* 1. ctx canvas ctx 上下文对象
* 2. 起始向量
* 3. length 向量长度(树枝长度)
* 4. thickness 线段宽度
* 5. 单位向量 dir 旋转角度
* 6. bias 随机因子
*/
const canvas = document.querySelector('canvas')
const ctx = canvas.getContext('2d')
ctx.translate(0, canvas.height)
ctx.scale(1, -1)
ctx.lineCap = 'round'
console.log(canvas.width)
const v0 = new Vector2D(canvas.width / 2, 0)
function drawBranch(ctx, v0, length, thickness, rad, bias) {
const v = new Vector2D().rotate(rad).scale(length)
console.log(v, rad, length)
const v1 = v0.copy().add(v)
ctx.beginPath()
ctx.lineWidth = thickness
ctx.moveTo(...v0)
ctx.lineTo(...v1)
ctx.stroke()
ctx.closePath()
}
// 定义好了之后我们先画一个树枝试试看
drawBranch(ctx, v0, 50, 10, Math.PI / 2, 1)
- 递归画图
// 先定义收缩系数
const LENGTH_SHRINK = 0.9
const THICKNESS_SHRINK = 0.8
const RAD_SHRINK = 0.5
const BIAS_SHRINK = 1
function drawBranch(ctx, v0, length, thickness, rad, bias) {
// ....
if (thickness > 2) {
// 画左树枝
const left =
Math.PI / 4 +
RAD_SHRINK * (rad + 0.2) +
drawBranch(
ctx,
v1,
length * LENGTH_SHRINK,
thickness * THICKNESS_SHRINK,
left,
bias
)
// 画右树枝
const right = Math.PI / 4 + RAD_SHRINK * (rad - 0.2)
drawBranch(
ctx,
v1,
length * LENGTH_SHRINK,
thickness * THICKNESS_SHRINK,
right,
bias
)
}
}
drawBranch(ctx, v0, 50, 10, Math.PI / 2, 1)
这一步画出来的是一个比较规则的形状， 代码写到这一步，树的基本形状已经出来了，但是 为了展示效果， 向量翻转上加一些随机性来画一颗更加接近自然状态的树。代码如下：
function drawBranch(ctx, v0, length, thickness, rad, bias) {
// ....
if (thickness > 2) {
// 画左树枝
const left =
Math.PI / 4 + RAD_SHRINK * (rad + 0.2) + bias * (Math.random() - 0.5) // 加些随机数
drawBranch(
ctx,
v1,
length * LENGTH_SHRINK,
thickness * THICKNESS_SHRINK,
left,
bias
)
// 画右树枝
const right =
Math.PI / 4 + RAD_SHRINK * (rad - 0.2) + bias * (Math.random() - 0.5) // 加些随机数
drawBranch(
ctx,
v1,
length * LENGTH_SHRINK,
thickness * THICKNESS_SHRINK,
right,
bias
)
}
}
drawBranch(ctx, v0, 50, 10, Math.PI / 2, 1)
等等等等， 效果图：一棵光秃秃的树
（是不是有点艺术内味儿了）
剩下的就是添加一些点缀， 把果子挂上
function drawBranch(ctx, v0, length, thickness, rad, bias) {
// .....
if (thickness < 5 && Math.random() < 0.3) {
const th = 6 + Math.random()
ctx.save()
ctx.strokeStyle = '#e4393c'
ctx.lineWidth = th
ctx.beginPath()
ctx.moveTo(...v1)
ctx.lineTo(v1.x, v1.y + 2)
ctx.stroke()
ctx.closePath()
ctx.restore()
}
}
drawBranch(ctx, v0, 50, 10, Math.PI / 2, 3) // 这里增大了随机因子， 让树枝更加分散
此时效果图就出来了：
（我再问一遍， 是不是很好看， 是不是很想花个几百万小钱买下它）
对于drawBranch第一调用， 可以尝试调一调参数，看看结果如何。
完整代码地址：github
总结
本文首先展示了如何将 canvas 的坐标系转化为直角坐标系
其次用一个例子演示了，向量在图形学内的基本运算。
向量运算的意义并不仅仅只是用来算点的位置和构造线段，这只是最初级的用法。
可视化呈现依赖于计算机图形学，而向量运算是整个计算机图形学的数学基础。而且，在向量运算中，除了加法表示移动点和绘制线段外，向量的点乘、叉乘运算也有特殊的意义。
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