编辑距离

给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符

示例 1：

输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')

示例 2：

输入：word1 = "intention", word2 = "execution"
输出：5
解释：
intention -> inention (删除 't')
inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')
enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')
exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')
exection -> execution (插入 'u')

提示：

0 <= word1.length, word2.length <= 500
word1 和 word2 由小写英文字母组成

题解思路：

动态规划，状态转移方程比较难想。经典的编辑距离算法。定理一：如果其中一个字符串是空串，那么编辑距离是另一个字符串的长度。比如空串“”和“ro”的编辑距离是2（做两次“插入”操作）。再比如"hor"和空串“”的编辑距离是3（做三次“删除”操作）。

定理二：当i>0,j>0时（即两个串都不空时）dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1,dp[i-1][j-1]+int(word1[i]!=word2[j]))。

啥意思呢？举个例子，word1 = "abcde", word2 = "fgh",我们现在算这俩字符串的编辑距离，就是找从word1，最少多少步，能变成word2？那就有三种方式：

知道"abcd"变成"fgh"多少步（假设X步），那么从"abcde"到"fgh"就是"abcde"->"abcd"->"fgh"。（一次删除，加X步，总共X+1步）
知道"abcde"变成“fg”多少步（假设Y步），那么从"abcde"到"fgh"就是"abcde"->"fg"->"fgh"。（先Y步，再一次添加，加X步，总共Y+1步）
知道"abcd"变成“fg”多少步（假设Z步），那么从"abcde"到"fgh"就是"abcde"->"fge"->"fgh"。（先不管最后一个字符，把前面的先变好，用了Z步，然后把最后一个字符给替换了。这里如果最后一个字符碰巧就一样，那就不用替换，省了一步）

代码：

class Solution {
   public int minDistance(String word1, String word2) {
        int len1 =word1.length();
        int len2 =word2.length();
        int[][] dp =new int[len1+1][len2+1];
        //dp[i][j]是指word1的前i的字符转化成word2的前j个字符所需要的最小步数
        for(int i=0;i<len1+1;i++){
            dp[i][0]=i;
        }
        for(int j=0;j<len2+1;j++){
            dp[0][j]=j;
        }
        for(int i=1;i<len1+1;i++){
            for(int j=1;j<len2+1;j++){
                int equalNum=word1.charAt(i-1)==word2.charAt(j-1)?0:1;
                dp[i][j]=Math.min(Math.min(dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1),dp[i-1][j-1]+equalNum);
            }
        }
        return dp[len1][len2];
    }
}