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这题起初根本想不到.直到翻了leetcode.com的discuss.....然后我整个人都"awesome!!!!"地瞎叫了.
下面讲讲我学来的思路.
概述
这题本质上来讲,就是让我们做一个有限状态机(finite state machine)(瞎翻的).
首先
一般看到这种题,我们第一反应是做状态记录,比如数字x出现了y次.然后从记录里查询出现了一次的数字.
但是 现在我们的空间复杂度被限制成了O(1),不可能对所有的64位二进制表示的整数进行统计次数.
于是
我们只能着眼于二进制上了.我们先将状态记录缩小到记录目标数字的每一个二进制上.
那么这题就会变成: 遍历所有数,一个二进制位出现1的次数对3取余是否为1,若为1,那么我们目标数字的这一位也就是1. (具体见下例)
比如
- [1,1,1,2] 他们转换成二进制就是[01,01,01,10],我们可以知道第一位(从右往左)的二进制总共出现了三次1,那么我们的目标结果在第一位就绝对不会是1,相对的第二位出现了一次1,那么我们的目标值在这一位就是1
实际上
这题我们也可以写64个变量(不知道数据量范围多大或者32位也可以?)记录每位的二进制1出现的次数,然后每一个对三取余最后得出的64个1与0再组成一个整数...不过思路本质离不开这里.
而且到这一步空间复杂度已经是O(1)了,毕竟一个定长数组.但是大佬就是不一样,非要用几个变量解决....
最后
- 我们要运用逻辑门的想法设计一个计数器.计数到3就回归0.对于每一个二进制位,出现了多少次1我们可以用两个二进制表示(因为这题只需要记录%3),00表示出现0次,01表示出现1此,10表示出现2次.这样就记录了三个状态,(题目中是出现三次,其实对于x次,我们也可以同理描述).如下
补充
- 建议此题可以补充一下逻辑代数相关知识,暂时不知道有什么好的文章,这里贴个百度百科.学习成本不高
介绍
a为高位,b为低位.两个一起表示一个两位二进制表示的数字(一个计数器)
| 计数器代表值 | a | b | 目标出现次数 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 0 | 2 |
| 0 | 0 | 0 | 3 |
| 1 | 0 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 5 |
| ... | ... | ... | ... |
上面是我们计数器需要达成的目标,一个计数循环.学过数字电路的同学看到这里应该就知道怎么做了.
我们再进一步. 我们遍历数据,每来一个数据c(这里一个二进制)我们的a与b就要开始为c计数,那么有以下情况
| a | b | c | 结果a | 结果b |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
上面比较容易明白,来的是0,那么我们不统计,原来a,b的统计结果不变
| a | b | c | 结果a | 结果b |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
这里也比较容易明白,当来的是1,那么只要为其计数增加1就好.
接下来就是我们的重头戏了.开始设计逻辑门能让我们的计数器保持3个状态记录循环.
我们观察结果a,可以看到会使结果a=1的状态仅有 ( a为1 && b为0 && c为0 ) || (a为0 && b为1 && c为1),同理可以推出b的表达式.
故可得出公式结果a结果b的表达式:
: 结果a = (a & ~b & ~c) + (~a & b & c)
: 结果b = (~a & ~b & c) + (~a & b & ~c)
另外根据逻辑代数分配率公式也可以变成:
: 结果b = ~a & (~b & c + b & ~c) = ~a & (b^c) //二进制进位逻辑
再然后根据上图a,c,结果b 三者的关系写出结果a的逻辑
结果a = a & ~c & (~结果b) + ~a & c & (~结果b) = (~结果b) & (a^c)
然后对实际int型数据做以上处理,就可完成我们的目标.(实际上可以把int看成是在维护一个二进制组成的数组a[i],b[i],c[i],i表示第i位.我们每次位运算操相当于对每一个i所在的三个元素进行操作,也就变成了上述单独描述一个二进制位时的情况.))
/**
* 给定一个非空整数数组，除了某个元素只出现一次以外，其余每个元素均出现了三次。找出那个只出现了一次的元素。
* 题目要求：你的算法应该具有线性时间复杂度。 你可以不使用额外空间来实现吗？
*
* 思路有点像是数字电路设计一个计数器.此题的情况就是为每一位二进制进行计数,计数三次归零,那么最后没有归零的数就是出现一次的那个数.设计思路与逻辑门电路设计一样.
*
* @author jxwww
* @date 2018/8/30
*/
public class No137 {
/**
* 如上所推
*/
public static int singleNumber(int[] nums) {
int a = 0, b = 0;
for (int c : nums) {
int tempA = (~a & b & c) + (a & ~b & ~c);
b = (~a & ~b & c) + (~a & b & ~c);
a = tempA;
}
return b;
}
/**
* 如上所推,你也可以写成这样
*/
public int singleNumber(int[] nums) {
int a=0,b=0;
for (int c : nums) {
b = b ^ c & ~ a;
a = a ^ c & ~ b;
}
return b;
}
public static void main(String[] args) {
int[] nums = new int[]{0, 1, 0, 1, 0, 1, 99};
System.out.println(singleNumber(nums));
}
}
