针孔摄像机模型与基本投影几何

最近由于项目需要，简单学习了一下针孔模型与基本的投影几何，在这里做个记录，便于日后快速查阅。主要参考了《学习OpenCV》,胖大星越来越胖的博客--单目相机标定和peggyryo的博客--OpenGL图形管线和坐标变换等，感谢相关作者的分享。

对于假想的针孔摄像机，从针孔到图像平面的距离就是焦距。如下图1所示，f是焦距，Z是物体到摄像机平面的距离，X是物体长度，x是图像平面上物体的像。由三角形相似性得到， $-x/f=X/Z$

图1 针孔摄像机模型

如果我们交换针孔和图像平面，如下图2所示，针孔被当成投影中心，从远处物体发出的光线，到达投影平面的中心，光轴与图像平面的交点被称为主点。这样目标的投影不再是倒立的，形成了新的相似关系，

x=f \frac{X}{Z}

图2 等价形式的针孔模型

理论上主点即是成像仪的中心，但实际上，由于制作工艺等原因，芯片的中心通常不在光轴上。

透视投影的目的是将物理空间的点映射到投影表面上。注意: 相机的透视投影和opengl的原理相似，但实际过程还是有很大差别（例如，opengl需要设置远近裁剪面，而相机有物理焦距。opengl的透视投影包含规范化和裁剪)两者的投影矩阵不同，注意不要搞混。

如上图，(u,v)表示以像素为单位的图像坐标，(x,y)表示以mm为单位的图像坐标。假设XO1Y坐标系的原点O1在UO0Y坐标系下的位置为(u0,v0)，每个像素的物理尺寸为dx*dy，则可以得到

摆放摄像机的过程，等价于一个坐标系到另一个坐标系的平移、旋转。