MATLAB10:矩阵的特征值和特征向量函数eig(A)

一、特征值

   设 A 是n阶方阵,如果存在数m和非零n维列向量 x,使得 Ax=mx 成立,则称 m 是矩阵A的一个特征值(characteristic value)或本征值(eigenvalue)。

二、定义

   设A是n阶方阵,如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立,那么这样的数λ称为矩阵A特征值,非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。

三、MATLAB函数eig(A)

   在MATLAB中,计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A),常用的调用格式有5种:
   (1) E=eig(A):求矩阵A的全部特征值,构成向量E。
   (2) [V,D]=eig(A):求矩阵A的全部特征值,构成对角阵D,并求A的特征向量构成V的列向量。
   (3) [V,D]=eig(A,'nobalance'):与第2种格式类似,但第2种格式中先对A作相似变换后求矩阵A的特征值和特征向量,而格式3直接求矩阵A的特征值和特征向量。
   (4) E=eig(A,B):由eig(A,B)返回N×N阶方阵A和B的N个广义特征值,构成向量E。
   (5) [V,D]=eig(A,B):由eig(A,B)返回方阵A和B的N个广义特征值,构成N×N阶对角阵D,其对角线上的N个元素即为相应的广义特征值,同时将返回相应的特征向量构成N×N阶满秩矩阵,且满足AV=BVD。

四、例1

clear
A=sym('[a b;c d]')
[V,D]=eig(A)
A =
[ a, b]
[ c, d]
V =
[(a/2+d/2-a^2-2*a*d+d^2+4*b*c)^(1/2)/2)/c-d/c, (a/2+d/2+(a^2-2*a*d+
d^2+4*b*c)^(1/2)/2)/c-d/c]
[ 1, 1]
D =
[a/2 + d/2 - (a^2 - 2*a*d + d^2 + 4*b*c)^(1/2)/2, 0]
[ 0, a/2 + d/2 + (a^2 - 2*a*d + d^2 + 4*b*c)^(1/2)/2]

五、例2

>> B=[1,-3,3; 3,-5,3; 6,-6,4]

B =

     1    -3     3
     3    -5     3
     6    -6     4

>> eig(B)

ans =

    4.0000
   -2.0000
   -2.0000
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