伽马函数和伽马分布

伽马函数

伽马函数可以通过欧拉（Euler）第二类积分定义：
$\Gamma(x) = \int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}dx$
其中参数 $\alpha>0$

伽马函数的性质：
$1.\Gamma(1)=1,\Gamma(\frac{1}{2})= \sqrt{\pi}\\ 2.\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)(可用分部积分法证得)\\ 当\alpha为自然数n时，有\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n!$

伽马分布

若随机变量X的密度函数为
$f(z)=\left\{ \begin{array}{rcl}\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x},x\geq0\\ 0 , x<0 \end{array}\right.$
则称X服从伽马分布，记作 $X\sim Ga(\alpha,\lambda)$ ,其中 $\alpha >0$ 为形状参数， $\lambda >0$ 为尺度参数。

伽马分布的数学期望和方差

$E(X) =\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int _0^\infty x^{\alpha}e^{-\lambda x}\\ =\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha)}\frac{1}{\lambda}=\frac{\alpha}{\lambda}\\ E(X^2) = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int _0^\infty x^{\alpha+1}e^{-\lambda x}\\ =\frac{\Gamma(\alpha+2)}{\Gamma(\alpha)}\frac{1}{\lambda^2}=\frac{\alpha(\alpha+1)}{\lambda^2}\\ Var(X) = E(X^2)-E(X)^2 = \frac{\alpha}{\lambda^2}$

伽马分布的两个特例

（1） $\alpha=1$ 时的伽马分布就是指数分布，即
$Ga(1,\lambda)=Exp(\lambda)$
（2）称 $\alpha=n/2,\lambda=1/2$ 时的伽马分布是自由度为n的卡方分布，记为 $\chi^2(n)$ ,即
$Ga(\frac{n}{2},\frac{1}{2})=\chi^2(n)$
密度函数为
$f(z)=\left\{ \begin{array}{rcl}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}},x\geq0\\ 0 , x<0 \end{array}\right.$
这里的n是 $\chi^2$ 分布的唯一参数，称为自由度，它可以是正实数，但更多的是取正整数， $\chi^2$ 分布是统计学中的一个重要分布。