以下是从小学到大学阶段数学核心知识点的分类介绍，涵盖各学段的重点内容及学习目标：

一、小学阶段（1-6年级）

核心目标：建立数感、基本运算能力、简单几何认知和逻辑思维。

1. 数与运算

• 整数：加减法（20以内→多位数）、乘除法（表内乘法→多位数乘除）、混合运算顺序。
• 分数与小数：分数的初步认识（约分、通分）、小数的意义与加减乘除运算。
• 运算律：加法交换律/结合律、乘法交换律/结合律/分配律。

2. 量与单位

• 常见单位：长度（米、厘米）、重量（千克、克）、时间（时分秒）、货币（元角分）、面积/体积单位。
• 单位换算：简单单位间的换算（如1米=100厘米）。

3. 几何图形

• 平面图形：线段、角（直角、锐角、钝角）、长方形/正方形/三角形/圆形的特征与周长、面积计算。
• 立体图形：长方体/正方体的认识，表面积与体积的初步概念。

4. 应用题与逻辑

• 基础应用题：倍数问题、分数应用题、行程问题（相遇、追及初步）。
• 逻辑推理：简单的排列组合（如握手问题）、找规律填数、图形推理。

二、初中阶段（7-9年级）

核心目标：从算术过渡到代数与几何，培养抽象思维和演绎推理能力。

1. 代数基础

• 有理数与实数：数轴、绝对值、有理数四则运算、平方根/立方根、无理数与实数概念。
• 整式与分式：单项式/多项式运算、因式分解（提取公因式、公式法）、分式化简与方程。
• 方程与不等式：
  • 一元一次方程/二元一次方程组
  • 一元二次方程（求根公式、韦达定理）
  • 一元一次不等式（组）的解法与应用。
• 函数初步：
  • 变量与函数概念，正比例/反比例函数、一次函数的图像与性质。
  • 二次函数的表达式、图像顶点与应用（如最值问题）。

2. 几何证明与计算

• 图形性质：
  • 平行线的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形/相似三角形的判定与性质。
  • 特殊三角形（等腰/直角三角形）、四边形（平行四边形/矩形/菱形/正方形）的性质与判定。
• 圆与尺规作图：
  • 圆的基本性质（半径、直径、圆周角定理）、直线与圆的位置关系。
  • 尺规作图（作线段/角、垂直平分线、圆内接正多边形）。
• 图形变换：平移、旋转、轴对称的性质与坐标表示。

3. 统计与概率

• 数据处理：平均数/中位数/众数、方差/标准差，频数分布直方图。
• 概率初步：随机事件、概率计算（枚举法、树状图）。

三、高中阶段（10-12年级）

核心目标：深化代数与几何，引入微积分和数学建模，培养综合分析能力。

1. 代数与函数

• 初等函数：
  • 指数函数/对数函数的图像与性质（如 ( y=a^x, y=\log_a x )）。
  • 三角函数（正弦/余弦/正切的图像、恒等变换、解三角形）。
• 数列与不等式：
  • 等差数列/等比数列的通项与求和公式，递推数列初步。
  • 不等式解法（一元二次不等式、分式不等式）、基本不等式（( a+b \geq 2\sqrt{ab} )）。
• 复数：复数的概念（实部/虚部）、代数形式与几何意义、四则运算。

2. 立体几何与解析几何

• 立体几何：
  • 空间几何体（柱/锥/台/球）的表面积与体积，空间线面关系（平行/垂直的判定与性质）。
  • 向量法解立体几何问题（空间向量的坐标运算、线面角/二面角计算）。
• 解析几何：
  • 直线与圆的方程（点斜式、一般式，位置关系判断）。
  • 圆锥曲线（椭圆/双曲线/抛物线的定义、标准方程与几何性质）。

3. 微积分初步

• 导数与积分：
  • 导数的概念与几何意义（切线斜率），基本初等函数的导数公式。
  • 导数在单调性/极值/最值中的应用，定积分的概念与简单计算（如求曲边梯形面积）。

4. 统计与概率

• 概率分布：古典概型、几何概型，离散型随机变量的分布列/期望/方差。
• 统计方法：回归分析（线性回归）、独立性检验。

四、大学阶段（数学专业核心课程）

核心目标：构建公理化体系，培养抽象思维与数学研究能力。

1. 分析学

• 数学分析：极限理论（ε-δ语言）、连续函数、导数与微分（多元微积分）、积分学（黎曼积分、重积分）、级数（数项级数、幂级数、傅里叶级数）。
• 实变函数：测度论、勒贝格积分、可测函数与收敛定理。
• 复变函数：解析函数、柯西积分定理、留数定理、共形映射。

2. 代数学

• 高等代数/线性代数：矩阵论（秩、特征值/特征向量）、线性空间与线性变换、欧几里得空间。
• 抽象代数（近世代数）：群/环/域的概念与结构（如对称群、多项式环、有限域），伽罗瓦理论初步。

3. 几何学

• 解析几何：三维空间中的曲面与曲线（如二次曲面分类）、射影几何初步。
• 微分几何：曲线与曲面的微分性质（曲率、测地线），流形概念简介。

4. 应用数学与交叉学科

• 概率论与数理统计：概率空间、随机过程（如马尔可夫链）、参数估计与假设检验。
• 微分方程：常微分方程（解的存在唯一性定理、线性方程组）、偏微分方程（波动方程、热传导方程）。
• 计算数学：数值分析（插值法、数值积分、微分方程数值解）、算法设计与优化。

5. 数学基础与前沿

• 集合论与数理逻辑：公理集合论（ZFC系统）、命题逻辑与谓词逻辑。
• 拓扑学：拓扑空间、连续映射、紧致性与连通性，代数拓扑初步（基本群）。
• 泛函分析：赋范空间、巴拿赫空间、希尔伯特空间，线性算子理论。

总结

• 小学：夯实计算与直观几何基础，培养数学兴趣。
• 初中：建立代数与几何的逻辑体系，学会形式化证明。
• 高中：深化函数与空间想象，衔接高等数学思想（如极限、导数）。
• 大学：以公理化和抽象代数为核心，分方向深入研究（纯数学、应用数学、计算数学等）。

每个阶段的知识点层层递进，前一阶段是后一阶段的基础，而大学数学则更注重理论的严谨性和体系的完整性。