3.3 形式化的量子力学统计 Statistics in formalized quantum mechanics

https://www.youtube.com/watch?v=3ZQfN_T6YYc&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=37

前言

统计也是量子力学的研究中至关重要的一部分，因为量子力学研究的根本就是求解可观测量的本征性质。

1. 可观测算符 $\hat Q$

方程如下：
$\hat Q |\psi \rangle = q | \psi \rangle$
此时薛定谔方程的解有两种情况

$\hat Q$ 得到的本征态是离散的
- $\{|\psi \rangle \} \ \ \ \{ q_n\}$
  通解： $|f\rangle = \sum_n a_n |\psi_n \rangle$
  概率计算公式： $a_i = \langle \psi_i | f\rangle$
- 测量 $\hat Q$
  假设测得本征值: $q_i \in \{ q_n\}$
  计算该本征值出现的概率： $|a_n|^2$
$\hat Q$ 得到的本征态是连续的
- $|\psi (q) \rangle \ \ \ q$
  通解： $|f\rangle = \int dq f(q) |\psi(q) \rangle$
  概率计算公式： $f(a)= \langle \psi(a) | f\rangle$
- 测量 $\hat Q$
  假设测得本征值： $q_0 < q < q_0 + dq$
  计算该本征值出现的概率： $|f(q)|^2dq$

测量相当于使波函数坍塌成对应的本征态。

2. 归一化和期望

上面得到可能的概率表达式，但是什么时候满足归一化条件呢：

离散
- 归一化
  $|f\rangle = \sum_n a_n |\psi_n \rangle$
  $\Rightarrow \langle f|f \rangle = ( \sum_n a_n |\psi_n \rangle)(\sum_n a_n |\psi_n \rangle) \ \ \rightarrow \sum a_n^* a_n =1$
  *这里只有当n=m的时候，波函数的内积才不是0，而是1。
- 求 $\hat Q$ 的期望
  $\langle Q\rangle = \langle f| \hat Q f \rangle$
  $\Rightarrow (\sum_n a_n^* \langle \psi_n |)( \sum_m a_m \underbrace{\hat Q|\psi_m \rangle}_{=q_m |\psi \rangle})$
  $\Rightarrow \sum_n \sum_m a_n^* a_m q \langle \underbrace{\psi_n | \psi_m \rangle}_{\delta_nm} \rightarrow \sum_n |a_n|^2 q_n$
连续
- 归一化
  通解： $|f\rangle = \int dq f(q) |\psi(q) \rangle$
$\langle f|f \rangle = ( \int dq_1 f^*(q_1) |\langle \psi(q_1) |)( \int dq_2 f(q_2) |\psi(q_2) \rangle)$
同理，只有 $q_1 = q_2$ 才不等于0
$\Rightarrow \int |f(a)|^2dq =1$
- 求期望
  $\langle Q \rangle = ( \int dq_1 f^*(q_1) |\langle \psi(q_1) |)( \int dq_2 f(q_2) \underbrace{\hat Q |\psi(q_2) \rangle}_{=q_2 |\psi(q_2) \rangle }$
  $=\int dq_1 \int dq_2 f^*(q_1) f(q_2) q_2 \underbrace{\langle \psi(q_1) | \psi(q_2) \rangle}_{\delta(q_1-q_2)} dq$
  $= \int dq_1 f^*(q_1) f(q_1) q_1 = \int |f(q)|^2 q dq$

3. 举例

以动量算符 $\hat q$ 举例：
$\hat p |\psi \rangle = p |\psi \rangle$
即求解下式：
$\Rightarrow \frac h i \frac d {dx} f_p(x) = p f_p (x)$
通解解：
$f_p(x) = A e^{ipx/h}$

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