11月4日，周四上午第二三节课学校组织数学组教师举行了一次教研活动——第二节课听课，第三节课评课。这次课由徐老师执教，是“和美课堂”外出学习汇报课。这节汇报课经过两次磨课与研课，的确取得了巨大的成功，整堂课非常流畅，彰显了以学生为主体，教师为主导的课堂风格。尤其在思维训练方便做得非常到位，成为本节课最大的亮点。同时，从个人角度，如果在某些时刻，恰到好处地往前走一步，或许会收到更有价值的效果。

一、思维的流向，主客体意识的渗透

课堂上在探讨两顶帽子与三条裤子搭配的过程中，先是用帽子去搭配裤子。也就是用绿帽子搭配裤子的话，可以分别与粉裤子、橙裤子、绿裤子搭配，这样就可以有三种到底款式。接着用蓝帽子搭配裤子，又可以分别与粉裤子、橙裤子、绿裤子搭配出三种款式。一共是六种款式。

当学生理解之后，执教老师抛出问题:我们刚刚是用帽子搭配裤子，那么我们还可以怎样来搭配呢？在老师的启发下，学生反应过来，表示还可以用裤子去搭配帽子。这里体现了思维互逆的过程。但学生是这样叙述的:绿裤子配绿帽子，紫裤子配绿帽子，橙裤子配绿帽子。

在这里，大家不难发现，上面描述和这种描述是一致的，本质上没有变化——绿帽子配绿裤子，绿帽子配紫裤子，绿帽子配橙裤子。也就是说尽管表面上思维的互逆，事实上是同一种思维，只是表述不一样。因此，不妨在这个我们是否可以往前再走一步。

第一种描述——绿裤子配绿帽子，紫裤子配绿帽子，橙裤子配绿帽子，体现出来的思维，我们理解为——从“帽子”流向“裤子”，或者说，“帽子”是主体，“裤子”是客体。如此一来，“帽子”一旦确定是不容易改变的——即产生了同一顶帽子分别配三种不同颜色的裤子的三种搭配款式。

有了这种“流向”意识，“主体”“客体”之分，或者说临时建构了这种搭配模型，那么在裤子配帽子的思维过程中就会避免犯错。正确的搭配应该是——绿裤子配绿帽子，绿裤子配粉帽子;紫裤子配绿帽子，紫裤子配粉帽子;橙裤子配绿帽子，橙裤子配粉帽子。在这里，裤子是不轻易改变的。

此外，在前后两次搭配活动中，帽子和裤子的颜色个人认为不要随意变动颜色，仍然用与原来一致的卡片，对比效果应该更容易把握。就像做实验一样，条件不轻易变换。同时第一次活动中的摆放可以理解为“竖式”，那么第二次活动中的摆放则可以理解为横式。这种可能对学生理解“从裤子到帽子”的搭配会产生干扰或者烁是负影响。建议第二次活动仍然采取“竖式”摆放，会有助于学生理解“裤子——帽子”的正确搭配。

二、思维的意向，虚指是数学的本质

在帽子与裤子的搭配过程中，我们可以不难理解，卡片、简图、文字等表示方式属于实物抽象，或者说任何一张卡片、一副简图、一个词或一个字，它们都表示确定的意义，与两顶帽子和三条裤子之间时存在着一一对应关系的，是属于实指的范畴，是不允许被误解的，或者说不允许随意更改的。每一张卡片、每一副简图、每一个词或字都具有确定而唯一的意义。

但思维过度到用图形、字母、数字表示帽子货裤子的时候，这时，实物抽象晋升为概念抽象。图形、字母、数字只是一个符号而已，仅仅表示一个概念，至于表示哪一个概念是不确定的，是可以被认为指定与赋予的。因此这种“二阶抽象”已经脱离了原有实物，仅仅保留人类思维中可以被理解和描述的概念。这样一来，作为符号所表示的意义是不确定的，属于虚指。

因此当学生说三角形代表绿帽子，圆形代表蓝帽子，第一个正方形代表粉裤子，第二个正方形代表橙裤子，五角星代表绿裤子，虽然并没有不对，但我们不妨再往前走一步。三角形代表一顶帽子，圆形代表另一顶帽子，第一个正方形，第二个正方形，五角星分别代表一条裤子。这样一来，五个符号与五个实物建立一种对应关系，但不是确定的。这种虚指其实时数学的本质，也是代数学的根基。此刻，符号只是思维中的一种意念，一种意念的指向。

当然，第一个正方形，第二个正方形，不是用得很好 可以引导学生改用另一种图形，让表达更加流畅与简洁。

三、思维的朝向，优选是建模的基础