2018-09-15

  • 信号的周期加大,对振幅的收敛性没有影响,会使信号的密度增加。
    • 实信号的幅度是偶函数，相位是奇函数
    • 实信号具有共轭对称的频谱，从信息的角度来看，其负频谱部分是冗余的，将实信号的负频谱部分去掉，只保留正频谱部分的信号，其频谱不存在共轭对称性，所对应的时域信号应为复信号。
    • 信号时间宽度变小,将使信号能量向高频扩散，信号的频带增加
    • 信号的边沿对信号频带的影响,信号的边沿变化越快,信号的频带越宽.
      • 三角波
      • \dot{A_n} = \frac{\tau}{T}[Sa(\frac{n\Omega \tau}{4})]^2
  • 傅里叶变换
    • \Omega是任意两个频率之间的间隔
    • T趋向于无穷大，\omega趋向于0，频谱的越来越密。
    • F(n\Omega) = T \cdot c_n(= 2\pi \frac{c_n}{\Omega}) = \int_{t_1}^{t_2}f(t)e^{-jn\Omega t}dt
      • T\to \infty , \Omega \to 0 ,n\Omega成为一个连续的变量,假设表示为\omega,则可以得到：
        • F(j\omega) = \int_{-\infty}^{ +\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt
        • 频谱密度函数,表示信号在此频率上的相对大小，实际分量大小为0
        • 与傅里叶级数一样，f(t)是实数函数,F(j\omega)的幅度是\omega的偶函数，相位是\omega的奇函数。
  • 傅里叶反变换
    • f(t) = \lim_{T\to \infty}\sum_{n = -\infty}^{+\infty}c_ne^{jn\Omega t} = \lim_{T\to \infty}\sum_{n = -\infty}^{+\infty_n} \frac{F(jn\Omega)}{T}e^{jn\Omega t} = \lim_{\Omega \to \infty}\sum_{n = -\infty}^{+\infty}\frac{1}{2\pi}\Omega F(jn\Omega)e^{jn\Omega t}
      • = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(j\omega)e^{j\omega t}d\omega
      • F(j\omega) = |F(j\omega)|e^{-j\varphi (\omega)}
      • 复信号的转换 = 模乘以相位角
      • \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(j\omega)|\cos(\omega t - \varphi (\omega ))d\omega
      • 欧拉公式的转换
      • 广义上的求和就是积分
  • 傅里叶变换存在的条件依然是Direchelt条件（绝对可积，有限间断点，有限极值点）
    • FT : F(i\omega) = \mathscr{F}\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt
    • IFT:f(t) = \mathscr{F}^{-1}\{ F(j\omega)\} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(j\omega)e^{j\omega t}d\omega
    • f(t),F(j\omega)一一对应
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