微分方程-变量分离的方程

变量分离的方程

如果微分方程
P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y=0\quad(2.15)

中的函数 P(x,y) 和 Q(x,y) 均可分别表示为 x 的函数与 y 的函数的乘积，则称（2.15）为变量分离的方程. 因此，只要令

P(x,y)=X(x)Y_1(y),\;Q(x,y)=X_1(x)Y(y),

变量分离的方程可以写成如下的形式

X(x)Y_1(y)\text{d}x+X_1(x)Y(y)\text{d}y=0\quad(2.16)

先考虑一个特殊的情形： P=X(x) 和 Q=Y(y). 则微分方程（2.15）成为

X(x)\text{d}x+Y(y)\text{d}y=0\quad(2.17)

显然这是一个恰当方程，所以容易得到它的通积分
\displaystyle\int X(x)\text{d}x+\int Y(y)\text{d}y=C

一般而言，（2.16）未必是恰当方程. 但是，在上面对微分方程（2.17）求解之后，我们容易想到：如果以因子 X_1(x)Y_1(y) 去除（2.16）式的两侧，就得到

\displaystyle\dfrac{X(x)}{X_1(x)}\text{d}x+\dfrac{Y(y)}{Y_1(y)}\text{d}y=0\quad(2.19)

此方程具有（2.17）的形式（即 x 和 y 互相分离），因此它的通积分为

\displaystyle\int\dfrac{X(x)}{X_1(x)}\text{d}x+\int\dfrac{Y(y)}{Y_1(y)}\text{d}y=C

容易看出，当 X_1(x)Y_1(y)\not =0 时，这两个方程是同解的
还要补上可能丢失的特解：
x=a_i\quad(i=1,2,\cdots)，其中 a_i 是 X_1(x)=0 的根;
y=b_j\quad(j=1,2,\cdots)，其中 b_j 是 Y_1(y)=0 的根.

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