#这是一篇公开的日记#

12月9日就是数学系的课程Math 6580『希尔伯特空间导论』（Intro to Hilbert Spaces）的期末考试了，所以我计划今后常在教授的office hour提问。

下午2点多我赶到了教授的办公室，虽然他曾经所穿的南开大学的T恤让我确定他来自中国，但按照惯例我们还是使用英文交流。一阵简单的寒暄之后，我说我现在已经开始复习了，现在在看第一章，遇到了几个问题想向他请教。他得知我的来意后，说很乐意帮我解决这些问题。

注：本课程用的教材是Nicholas Young编著的《An Introduction to Hilbert Space》，本文中的字体是印刷体的截图都来自于此书。

我的第一个问题是：

1、下面这个定义中的乘号是什么意思？

图一 图中的乘号是什么意思？

教授听完问题，说：『你知道大写的R、C�是什么意思吗？』

这难不倒我，我说：『R是所有实数的集合，C是所有复数的集合。』

教授说很好，然后在草纸上写下了大写的R和C，又一口气写下了R×R，C×C的定义：

图二 图一中的问题的回答

我点了点头说：『哦，原来就是表示 有序的对 啊，那为什么要用乘号呢？』

教授答：『这就是个约定的记号。你知道小写的L的平方是什么意思吗？』

我：『平方可加的数列。』

教授：『具体呢？』

我：『数列的各项的绝对值的平方的和是小于无穷大的（即收敛的）。』

然后教授又写下了图二中的最后一部分。

我在这个问题上�并没有纠缠太久，在我的理解里，乘号是用来表示有序对，是个约定俗成的记号。

我的第二个问题是：

2、为什么下面这个证明要设置一个k，而不利用柯西不等式直接得出结论？

图三 为什么不直接用柯西不等式？

教授：『在这个问题中我们需要证明什么？』

我：『我们需要证明这个内积的定义是有意义的。』

教授：『具体呢？』

我：『要证明那个求和的式子是收敛的。』

教授：『哪个求和的式子是收敛的？写下来。』

我于是写下了下面这个不等式：

图四 问题二的具体化

教授：『没错，可你的问题是什么？』

我：『我的问题是——为什么在图二中的求和的式子中，求和的上方是k而不是无穷大？如果是无穷大，那我们可以直接根据柯西不等式得出它收敛。而且，这个证明里也确实用到了柯西不等式，既然如此……』

教授：『在这里，我们的前提是：只知道对于有限长的数列的柯西不等式。至于是否存在更宽泛的柯西不等式，或者说，对于无限长的数列，是否也有类似的不等式，我们并不知道。我们甚至不知道，这个求和的式子能不能当成内积，如果在这里就使用对于无限长的数列的柯西不等式，那就�是循环论证。』

我：『所以我们需要先设置一个k，然后利用对于有限长度数列的柯西不等式，以及这些数列是平方可加的，来证明，不管这个k取多大，这个求和的式子都是收敛的。』

教授：『对，证明这个求和的式子是收敛的，而此收敛是与k无关的。』

我：『明白了，谢谢。』

接下来这个问题，花的时间比前两个问题加起来还多的多：

3、怎么证明，矩阵的内积�可以�如下图这样定义？

图三 矩阵的内积

教授问：『你知道解决这种问题的思路吗？』

我回答：『证明这个定义满足内积所需要满足的四个条件。』

教授：『哪四个？』

我赶紧在纸上写下了那四个条件：

图五 内积需要满足的四个条件

教授：『很好，那你就先从第一个条件开始验证。』

我：『可是我只知道怎么验证向量是否满足这些条件，不知道对于矩阵应该怎么做，我猜是得先把矩阵�表示出来？』

教授：『先不说这个，你知道什么是向量空间吗？』

我：『知道。』

教授：『什么是向量空间？』

我：『向量空间是在加法和数乘下封闭的空间……』

教授：『不不不，我是在问你，什么是向量空间，而不是问你向量空间有哪些特性。』

我想了想：『向量空间是向量的集合。』

教授：『那这个问题里的 空间（向量空间） 是什么意思？』

我：『m×n的矩阵的集合，哦，对了，它们的元素是复数，所以应该是复矩阵。』

教授：『把它写下来。』

我在纸上写下了：

The collection of the m×n complex matrices.

教授：『应该是all而不是the。』

于是我�把『the』划掉，改成了：

The collection of all m×n complex matrices.

教授：『很好，那你能想一个符号来表示这个空间吗？』

教授的口音有些重，我把符号（symbol）听成了例子(sample)。

我有些困惑的说：『你是要我给一个例子吗？』

教授：『不是，要你给一个�符号。』

听明白后，我在纸上写下了：

图六 元素为复矩阵的向量空间的表示方法

教授：『很好，你现在写：这个（符号）是一个向量空间。』

加上上文的那句话，我在纸上写下了下图中的文字：

图七  巴拉巴拉

教授：『回到你的问题，你知道怎么表示矩阵吗？』

我心想，终于回到我的问题了。

我：『知道。』

教授：『写下来，把A、B都写下来。』

我不假思索的写了下来：

图八 m×n的矩阵A、B的具体形式

教授：『你知道B*是什么意思吗？』

我：『B的复共轭转置。』

教授：『你知道矩阵的迹（trace）是什么吗？』

我：『就是主对角线上的元素的和。』

教授：『很好，那你现在求trace（B*A），然后验证第一个条件。』

我心想按部就班的写应该不难，结果写着写着发现，我连复共轭转置都写不清楚。于是教授给我支招——先写复共轭，再写复共轭转置。然而我发现，虽然我确定知道转置是怎么一回事，但我还是�不能熟练以『字母和下标』的形式表达出来，不得不像下图这样卡在了这个基础的线性代数问题上。

图九 过于抽象导致无法继续

教授看出了我的问题所在，说：『你的问题在于你对这种表达方式不熟练，你在这种情况下，很容易被它吓住，无法继续。这时，你应该多写几个元素，而不只是写四个角上的元素。』

我：『所以你的意思是让我写的再具体一点？』

教授：『没错。』

果然，在多写了一些元素后，我发现了一些规律，终于顺利的写出了矩阵的复共轭转置。

图十 矩阵B的复共轭转置（B*）

然而，在尝试写trace（B* A）时，还是遇到了类似困难，教授给出了几乎是同样的解决方案：多写几个元素，然后按部就班的来。

教授：『导致这个问题的原因还是跟刚才的类似——因为你对矩阵的迹不熟练。矩阵的迹是矩阵的主对角线上的所有元素的和。所以，你先写矩阵的对角线。你先告诉我矩阵的对角线是什么？』

我：『 B* A得到的矩阵的对角线，应该是B* 的第一行乘以A的第一列，得到对角线上的第一个元素；然后B*的第二行乘以A的第二列，得到对角线上的第二个元素……』

教授：『没错，你就这样一个一个的写下去就行了。』

我便照他说的做了：

图十一 把矩阵的对角线上的元素一个一个的写下来

图十二 （接图十一）然后再一个个的加起来（每行代表对角线上的一个元素）

教授：『很好，你写到这里发现什么规律了吗？』

我已经被矩阵弄晕了，看了足足一分钟，什么也没有发现。

教授：『在这个求和的式子里，每一项的乘积中，b和a的下标是一样的，这意味着两个矩阵的内积，其实就是：一个矩阵中的元素，与另一个矩阵�相同位置上的元素的共轭的积，然后对所有这样的积求和。』

我瞬间明白过来了：『这个定义很优雅！』

教授：『这个跟向量的内积类似。』

我：『对啊！我怎么没想到啊……只是，教授，这种方式似乎有些笨拙（cumbersome），有没有巧妙一点的方法？』

教授：『这是标准的证明方法。』

我意识到自己的小聪明病又犯了，想到刚才卡在线性代数基础问题上的尴尬一幕，就乖乖的闭嘴了。其实那个问题到此并没有得到证明，但它最难的地方就是在于怎么把这个矩阵的内积具体的表达出来，而且，教授已经为我不停地讲解了将近40分钟，他的office hour的时间已经结束了十几分钟，所以我就没有继续问下去了。

我：『教授，非常感谢，我觉得我已经可以证明这个问题了。』

教授：『很好，你还有其他问题吗？』

我：『没有了，谢谢。』

教授：『我刚才好像看你的草纸上还写了其他的问题。』

我：『那是书上的练习1.7，是基于刚才的那个问题的，所以我相信我能解决。』

教授：『非常好，继续像这样学习。』

我：『非常感谢你，教授。』

教授：『不客气。』

道别后，回想了下，教授一直在试图帮助我拆分、具体化问题，很像动态规划的思想。这种方法能很快定位到问题的困难之处，然后他再进行针对性的讲解，使我得到最高效的帮助。

一本书不能做到完全self-contained（现实不能，不知道理论上可不可能），总是需要些书本外的先验知识，而不同学生的知识漏洞可能不一样，我认为office hour的最大作用就是能够针对不同的学生的需求的教学，补足这些不同的不足。