区间再现公式

【区间再现公式】 $\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(b+a-x)dx$

公式细节提示：①公式前后积分上下限保持不变；②被积函数中的“ $x$ ”变成“上限+下限- $x$ ”

【公式推导】 $\int_ {a}^{b} f(x)dx \xrightarrow {令x=a+b-t} \int_{b}^{a} f(a+b-t)(-1)dt=-\int_{b}^{a} f(a+b-t)dt \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\int_{a}^{b}f(a+b-t)dt =\int_{a}^{b} f(a+b-x)dx$

即 $\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(b+a-x)dx$

公式分析：可见，所谓的区间再现公式只不过是一个代换公式，使用这个公式可以不需代换步骤即可看出代换后的效果.（该知识点属考研范围之外）

【例1】（2017年数二）计算： $\lim\limits_{x\to0^+} \frac {\int_{0}^{x} \sqrt {x-t}e^tdt} {\sqrt {x^3}}$ .

解： $原极限\xrightarrow {对分子区间再现} \lim\limits_ {x\to0^+} \frac { \int_ {0}^{x} \sqrt {t} e^{x-t} dt}{ \sqrt {x^3}} =\lim\limits_ {x\to0^+ } \frac {e^x \int_ {0}^{x} \sqrt {t}e^{-t}dt} {\sqrt {x^3} } = \lim\limits_ {x\to0^+} \frac { \int_ {0}^{x} \sqrt {t}dt}{ \sqrt {x^3}} = \frac {2}{3}$

【例2】（2005年数二）计算：设 $f(x)$ 连续，且 $f(0)≠0$ ，求 $\lim\limits_ {x\to0^+} \frac {\int_ {0}^{x} (x-t)f(t)dt } {x \int_ {0}^{x}f(x-t)dt}$ .

解： $原极限\xrightarrow {对分子区间再现} \lim\limits_ {x\to0} \frac {x\int_{0}^{x}f(t)dt - \int_{0}^{x}tf(t)dt }{x\int_{0}^{x}f(t)dt } = 1-\lim\limits_{x\to0} \frac {\int_{0}^{x}tf(t)dt }{x\int_{0}^{x}f(t)dt } \\\xrightarrow {变限积分等价无穷小}1-\lim\limits_{x\to0} \frac {f(0)\int_ {0}^{x}tdt }{f(0)x^2} = \frac {1}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$

【例3】设函数 $f(x)$ 连续，求 $\frac { d } { dx } \int_ {0}^{x^2} f(x^2-t) dt$ .

解： $原式\xrightarrow {区间再现} \frac {d} {dx} \int_ {0}^{x^2} f(t) dt = 2xf(x^2)$

【例4】证明： $\int_{0}^{ \frac { \pi }{2}} f(\sin x)dx= \int_{0}^{ \frac { \pi }{2}} f(\cos x)dx$

证明： $\int_{0}^{ \frac { \pi }{2}} f(\sin x)dx \xrightarrow {区间再现} \int_{0}^{ \frac { \pi }{2}} (\sin ( \frac { \pi }{2} -x))dx= \int_{0}^{ \frac { \pi }{2}} f(\cos x)dx$

【例5】证明： $\int_{0}^{ \pi}xf(\sin x)dx = \frac { \pi } {2} \int_{0}^{\pi}f( \sin x) dx$ .

证明： $\int_{0}^{ \pi }xf(\sin x)dx \xrightarrow {区间再现} \int_{0}^{ \pi } ( \pi -x)f( \sin ( \pi -x )) dx = \pi \int_{0}^{ \pi}f(\sin x)dx - \int_{0}^{ \pi }xf(\sin x)dx$

∴ $\int_{0}^{ \pi}xf(\sin x)dx = \frac { \pi } {2} \int_{0}^{\pi}f( \sin x) dx$ .

【例6】设函数 $f(x)$ 连续且满足 $f(x)=f(T-x)$ ，证明： $\int_{0}^{T} xf(x)dx = \frac {T}{2} \int_ {0}^{T} f(x)dx$ 并计算： $\int_{0}^{nx} x\vert \sin x \vert dx$ ……与【例5】联系起来.

证明： $\int_{0}^{T} xf(x)dx \xrightarrow{区间再现} \int_{0}^{T} (T-x) f(T-x)dx=T \int_{0}^{T}f(x)dx - \int_{0}^{T}xf(x)dx$

∴ $\int_{0}^{T} xf(x)dx = \frac {1}{2} T \int_{0}^{T}f(x)dx$

∴ $\int_{0}^{nx} x\vert \sin x \vert dx = \frac {1} {2}n \pi \int_{0}^{n \pi} \vert \sin x \vert dx = \frac {n^2 \pi} {2} \int_ {0}^{\pi} \vert \sin x \vert dx= n^2 \pi$

区间再现公式

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