什么是时间复杂度，算法中某个函数有n次基本操作重复执行，用T(n)表示，现在有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。通俗一点讲，其实所谓的时间复杂度，就是找了一个同样曲线类型的函数f(n)来表示这个算法的在n不断变大时的趋势 。当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。
计算时间复杂度的方法：
- 用常数1代替运行时间中的所有加法常数
- 修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
- 去除最高阶项的系数
按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：
随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。
1. 常数阶
这种与问题规模的大小无关（n的多少），执行时间恒定的算法，我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶。
int sum = 0, n = 100; /*执行一次*/
sum = (1 + n) * n / 2; /*执行一次*/
printf("%d",sum); /*执行一次*/
2. 线性阶
线性阶的循环结构会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。
下面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)， 因为循环体中的代码须要执行n次。
int i;
for(i = 0; i < n; i++){
/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
}
3. 对数阶
int count = 1;
while (count < n){
count = count * 2;
/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
}
由于每次count乘以2之后，就距离n更近了一分。 也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。 由2^x=n 得到x=log2(n)。 所以这个循环的时间复杂度为O(log2(n))。
4. 平方阶
这段代码的时间复杂度为O(n^2)。
int i, j;
for(i = 0; i < n; i++){
for(j = 0; j < n; j++){
/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
}
循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。
int i, j;
for(i = 0; i < n; i++){
for(j = i; j < n; j++){ /*注意j = i而不是0*/
/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
}
}
由于当i=0时，内循环执行了n次，当i = 1时，执行了n-1次，……当i=n-1时，执行了1次。所以总的执行次数为:
根据时间复杂度的算法，第一条，没有加法常数不予考虑；第二条，只保留最高阶项，因此保留时(n^2)/2; 第三条，去除这个项相乘的常数，也就是去除1/2，最终这段代码的时间复杂度为O(n^2)。
5. 立方阶
int i, j;
for(i = 1; i < n; i++)
for(j = 1; j < n; j++)
for(j = 1; j < n; j++){
/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
}
最坏时间复杂度和平均时间复杂度
- 最坏情况下的时间复杂度称
最坏时间复杂度。一般不特别说明，讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。
这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的上界，这就保证了算法的运行时间不会比任何更长。平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，算法的期望运行时间。设每种情况的出现的概率为pi,平均时间复杂度则为sum(pi*f(n))
