数组小和的定义如下：例如，数组s=[1,3,5,2,4,6]
在s[0]的左边小于或等于s[0]的数的和为0
在s[1]的左边小于或等于s[1]的数的和为1
在s[2]的左边小于或等于s[2]的数的和为1+3=4
在s[3]的左边小于或等于s[3]的数的和为1
在s[4]的左边小于或等于s[4]的数的和为1+3+2=6
在s[5]的左边小于或等于s[5]的数的和为1+3+5+2+4=15
所以s的小和为0+1+4+1+6+15=27
给定一个数组s，实现函数返回s的小和。
对于本题，最容易想到的就是通过二重循环暴力求解，时间复杂度O(n^2)，代码如下：
public class ArraySmallSum {
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {1, 3, 5, 2, 4, 6};
int smallSum = 0;
for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (arr[j] < arr[i]) {
smallSum += arr[j];
}
}
}
System.out.println(smallSum);
}
}
这样的时间复杂度显然是不能令人满意的，这里我们利用归并排序，在对有序子数组进行merge的同时，累加数组小和，时间复杂度O(nlogn)，代码如下：
public class ArraySmallSum {
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {1, 3, 5, 2, 4, 6};
System.out.println(getSmallSum(arr));
}
public static int getSmallSum(int[] arr) {
if (arr == null || arr.length == 0) {
return 0;
}
return mergeSortRecursion(arr, 0, arr.length - 1);
}
/**
* 递归实现归并排序
*
* @param arr
* @param l
* @param r
* @return 返回数组小和
*/
public static int mergeSortRecursion(int[] arr, int l, int r) {
if (l == r) { // 当待排序数组长度为1时，递归开始回溯，进行merge操作
return 0;
}
int mid = (l + r) / 2;
return mergeSortRecursion(arr, l, mid) + mergeSortRecursion(arr, mid + 1, r) + merge(arr, l, mid, r);
}
/**
* 合并两个已排好序的数组s[left...mid]和s[mid+1...right]
*
* @param arr
* @param left
* @param mid
* @param right
* @return 返回合并过程中累加的数组小和
*/
public static int merge(int[] arr, int left, int mid, int right) {
int[] temp = new int[right - left + 1]; // 辅助存储空间 O(n)
int index = 0;
int i = left;
int j = mid + 1;
int smallSum = 0; // 新增，用来累加数组小和
while (i <= mid && j <= right) {
if (arr[i] <= arr[j]) {
// 当前一个数组元素小于或等于后一个数组元素时，累加小和
// s[i] <= s[j] -> s[i] <= s[j]...s[right]
smallSum += arr[i] * (right - j + 1);
temp[index++] = arr[i++];
} else {
temp[index++] = arr[j++];
}
}
while (i <= mid) {
temp[index++] = arr[i++];
}
while (j <= right) {
temp[index++] = arr[j++];
}
for (int k = 0; k < temp.length; k++) {
arr[left++] = temp[k];
}
return smallSum;
}
}
牛客网有道数组单调和，实际上和该题为同一道题。
另一道数组中的逆序对，与该题解法类似，只是merge时逆序对的累加条件和算法有所不同，此时merge操作的代码如下：
/**
* 合并两个已排好序的数组s[left...mid]和s[mid+1...right]
*
* @param arr
* @param left
* @param mid
* @param right
* @return 返回合并过程中累加逆序对
*/
public static int merge(int[] arr, int left, int mid, int right) {
int[] temp = new int[right - left + 1]; // 辅助存储空间 O(n)
int index = 0;
int i = left;
int j = mid + 1;
int inverseNum = 0; // 新增，用来累加数组逆序对
while (i <= mid && j <= right) {
if (arr[i] <= arr[j]) {
temp[index++] = arr[i++];
} else {
// 当前一个数组元素大于后一个数组元素时，累加逆序对
// s[i] > s[j] -> s[i]...s[mid] > s[j]
inverseNum += (mid - i + 1);
temp[index++] = arr[j++];
}
}
while (i <= mid) {
temp[index++] = arr[i++];
}
while (j <= right) {
temp[index++] = arr[j++];
}
for (int k = 0; k < temp.length; k++) {
arr[left++] = temp[k];
}
return inverseNum;
}
