在一个由 0 和 1 组成的二维矩阵内，找到只包含 1 的最大正方形，并返回其面积。
输入:
1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0
输出: 4
方法二：动态规划
方法一虽然直观，但是时间复杂度太高，有没有办法降低时间复杂度呢？
可以使用动态规划降低时间复杂度。我们用 dp(i, j)dp(i,j) 表示以 (i, j)(i,j) 为右下角，且只包含 11 的正方形的边长最大值。如果我们能计算出所有 dp(i, j)dp(i,j) 的值，那么其中的最大值即为矩阵中只包含 11 的正方形的边长最大值，其平方即为最大正方形的面积。
那么如何计算 dpdp 中的每个元素值呢？对于每个位置 (i, j)(i,j)，检查在矩阵中该位置的值：
如果该位置的值是 00，则 dp(i, j) = 0dp(i,j)=0，因为当前位置不可能在由 11 组成的正方形中；
如果该位置的值是 11，则 dp(i, j)dp(i,j) 的值由其上方、左方和左上方的三个相邻位置的 dpdp 值决定。具体而言，当前位置的元素值等于三个相邻位置的元素中的最小值加 11，状态转移方程如下：
dp(i, j)=min(dp(i−1, j), dp(i−1, j−1), dp(i, j−1))+1
dp(i,j)=min(dp(i−1,j),dp(i−1,j−1),dp(i,j−1))+1
如果读者对这个状态转移方程感到不解，可以参考 1277. 统计全为 1 的正方形子矩阵的官方题解，其中给出了详细的证明。
此外，还需要考虑边界条件。如果 ii 和 jj 中至少有一个为 00，则以位置 (i, j)(i,j) 为右下角的最大正方形的边长只能是 11，因此 dp(i, j) = 1dp(i,j)=1。
以下用一个例子具体说明。原始矩阵如下。
0 1 1 1 0
1 1 1 1 0
0 1 1 1 1
0 1 1 1 1
0 0 1 1 1
对应的 dpdp 值如下。
0 1 1 1 0
1 1 2 2 0
0 1 2 3 1
0 1 2 3 2
0 0 1 2 3
下图也给出了计算 dpdp 值的过程。
class Solution {
public:
int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) {
if (matrix.size() == 0 || matrix[0].size() == 0) {
return 0;
}
int maxSide = 0;
int rows = matrix.size(), columns = matrix[0].size();
vector<vector<int>> dp(rows, vector<int>(columns));
for (int i = 0; i < rows; i++) {
for (int j = 0; j < columns; j++) {
if (matrix[i][j] == '1') {
if (i == 0 || j == 0) {
dp[i][j] = 1;
} else {
dp[i][j] = min(min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
}
maxSide = max(maxSide, dp[i][j]);
}
}
}
int maxSquare = maxSide * maxSide;
return maxSquare;
}
};
复杂度分析
时间复杂度：O(mn)O(mn)，其中 mm 和 nn 是矩阵的行数和列数。需要遍历原始矩阵中的每个元素计算 dp 的值。
空间复杂度：O(mn)O(mn)，其中 mm 和 nn 是矩阵的行数和列数。创建了一个和原始矩阵大小相同的矩阵 dp。由于状态转移方程中的 dp(i, j)dp(i,j) 由其上方、左方和左上方的三个相邻位置的 dpdp 值决定，因此可以使用两个一维数组进行状态转移，空间复杂度优化至 O(n)O(n)。
