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第一章 极限、连续与求极限的方法
·求极限的方法概述（约12种）：
- 利用极限的四则运算与幂指数运算法则
- 利用函数的连续性
- 利用变量替换与两个重要极限
- 利用等价无穷小因子替换
- 利用洛必达法则
- 分别求左右极限
- 数列极限转化为函数极限
- 利用适当放大缩小法
- 对递归数列先证明极限存在（常用到单调有界数列有极限的准则，对于无单调性有界数列还要用其他方法），再利用递推关系求出极限
- 利用导数的定义求极限
- 利用泰勒公式
- 利用定积分求
n项式和的极限 - 利用拉格朗日中值定理求极限
一、极限的概念与性质
（一）极限的定义
1.1 数列的极限
1.2 函数的极限，趋近无穷时的极限
注：x与n趋向∞的含义不同，前者有正负，后者只有正
1.3 函数的极限，趋近于x0时的左右极限
（二）极限的性质
1.1 数列极限的不等式性质（两条）
1.2 收敛数列的有界性
1.3 函数极限的不等式性质（两条）
推论：极限的保号性
1.4 存在极限的函数的局部有界性
（三）两个重要极限
二、极限存在性的判别
（一）极限存在的两个准则
1.5 数列夹逼定理
1.6 函数夹逼定理
1.7 单调有界数列必收敛定理
（二）极限存在的一个充要条件
1.8 函数极限存在的充要条件，分段函数在分段点的左右极限相等
1.9 数列极限存在的充要条件，偶数项极限 = 奇数项极限 = A <=> 数列极限 = A
（三）证明函数极限不存在的常用方法
方法1：左右极限不相等，（比如含有那三个函数的极限要对正负无穷分别求极限，比如开根号、取绝对值时存在的正负问题）
方法2：xn、yn趋近于x0时f(xn)、f(yn)的极限不相等 （例1.4的Ⅰ）
方法3：不存在 + 存在 = 不存在、不存在 × 存在 = 不存在 （运算法则）（例1.4的Ⅱ）
三、求极限的方法
（一）利用极限四则运算和幂指数运算法则求极限
1.10 极限的四则运算法则及其推广
1.11 幂指数函数的极限运算法则及其推广
注：只有 每部分的极限存在才可用四则运算法则
（二）利用函数的连续性求极限
- 代入法
- 一切初等函数在定义域内都连续
（三）利用变量替换法与两个重要极限求极限
主要是1的无穷型极限
注意看变量是否真的趋近于0，有可能变量极限不存在
（四）利用等价无穷小因子替换求极限
记住大概11个等价无穷小
（五）洛必达
洛就完事了
（六）分别求左右极限
要提高警觉，注意有哪些会导致左右不一致的变量
（七）利用函数极限求数列极限
主要是为了利用洛必达法则
（八）利用放缩法
利用夹逼定理
掌握几种放缩手段，对分子分母进行调整，极限不等式，积分的极限，积分不等式等等
（九）递归数列极限的求法
方法1：先证数列收敛，然后去解
方法2：利用两个结论
（十）利用导数的定义求极限（见第二章）
（十一）利用定积分求某些n项式和的极限（见第三章）
（十二）利用泰勒公式求未定式的极限（见第五章）
四、无穷小及其比较
-
无穷小阶的比较，分式，常用洛必达或者泰勒公式
在这里插入图片描述 确定无穷小的阶的方法
方法1：等价无穷小
方法2：待定阶数法
方法3：泰勒公式（见第五章）
方法4：利用无穷小阶的运算性质
五、函数的连续性及其判断
（一）连续性及其相关概念
1.8 连续性的定义（（1）~（3）有三个互相等价的定义）
（4）~（6）左连续、右连续、内连续
（二）间断点的定义与分类
1.9 间断点的定义
- 第一类
- 第二类
（三）判断函数的连续性和间断点的类型
- 初等函数
- 连续性运算法则
- 定义
- 分别判断左右连续性
1.14 连续性运算法则 - 两个函数做四则运算
- 两个函数做复合运算
- 反函数连续性
六、连续函数的性质
（一）连续函数的局部保号性质
（二）有界闭区间上连续函数的性质
1.16 有界闭区间上连续函数的有界性
推论：第一类间断点 => 有界
1.17 有界闭区间上连续函数存在最大、最小值
1.18 连续函数介值定理
推论：连续函数零点存在性定理
注：①推广到开区间；②有界闭区间；③存在一点使得
推论：根据最大值最小值得出函数值域
注：求连续函数值域，就是求连续函数最值
（三）方程式根到存在性——连续介值定理的应用
可用来证明 f(x) = 0有根
这章常考题型约有十二种
后记：
对于上面的第13条，利用拉格朗日中值定理求极限，例题（法三）：
