1、安徽大学 2022 年高等代数考研试题

1、填空题（共 5 小题，每题 6 分，共 30 分）
(1)、设 $A=(a_{ij})$ 是 $~n~$ 阶可逆实矩阵， $~n\ge 3~$ 且为奇数， $~A_{ij}~$ 为 $~a_{ij}~$ 在行列式 $~\vert A\vert~$ 的代数余子式，若
$A_{ij}=2a_{ij},~~i,j=1,2\dots,n$
则行列式 $~\vert A\vert=$ ____ 。

(2)、多项式
$f(x)=2x^4-3x^3+2x^2-1$
则在有理数域 $\mathbb{Q}$ 上的标准分解式为___ 。

(3)、设线性空间 $~V~$ 上的线性变换 $~\sigma~$ 在基 $~\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3~$ 下的矩阵为
$\begin{pmatrix} 1&2&0\\3&0&-1\\ 0&3&2 \end{pmatrix}$
则 $~\sigma~$ 在基
$\epsilon_1+\epsilon_2+\epsilon_3,~\epsilon_2+\epsilon_3,~\epsilon_3$
下的矩阵为 ___ 。

(4)、设 $~\epsilon_1,\epsilon_2~$ 是欧氏空间 $~V~$ 的一组正交基， $~\alpha_1,\alpha_2\in V~$ ，已知
$(\epsilon_1,\alpha)=1,~~(\epsilon_1,\alpha_2)=-1,~~(\epsilon_2,\alpha_1)=2,~~(\epsilon_2,\alpha_2)=1$
则向量 $~\alpha_!,\alpha_2~$ 的夹角为____。

(5)、设矩阵 $~A~$ 的初等因子组为
$\lambda^2,~~(\lambda-1)^2,~~(\lambda-1)^2,~~\lambda+1,~~(\lambda+1)^3$
则 $~A~$ 的最小多项式为____。

2、判断题（共 10 题，每小题 2 分，共 20 分，只需对错，无需理由）
(1)、设 $~A,B~$ 都是数域 $~\mathbb{P}~$ 上的 $~n~$ 阶方阵，若 $~E-AB~$ 可逆，其中 $~E~$ 为单位阵。

(2)、设 $~A~$ 是 $~n~$ 阶实对称矩阵，则 $~A~$ 为半正定矩阵。

(3)、设 $~f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0~$ 为整系数多项式， $~a_n\neq 0~$ ，若有理数 $~\frac{q}{p}~$ 是 $~f(x)~$ 的根，则必有 $~p~|~a_0~$ 且 $~q~|~a_n~$ ，其中 $~p,q~$ 是互素的整数。

(4)、设 $~A~$ 为 $~n~$ 阶复方阵， $~f(\lambda)~$ 为 $~A~$ 的特征多项式， $~\lambda_0~$ 为 $~f(\lambda)~$ 的 $~r~$ 重根，则必有
$\rm{rank}(\lambda_0-A)^{r-1}>\rm{rank}(\lambda_0-A)^r$

(5)、设 $~V_1,V_2,\dots,V_s~$ 都是线性空间 $~V~$ 的子空间， $~s\ge 3~$ ，则
$V=V_1\oplus V_2\oplus\dots\oplus V_s$
的充分必要条件是
$V=\sum_{i=1}^s V_i~\mbox{且}~\rm{dim} V=\sum_{i=1}^s dim V_i$

(6)、设 $~P~$ 是数域， $~f(x)\in\mathbb{P}[x]~$ 且 $~deg~f(x)=n>1$ ， $~f^{'}(x)~$ 为 $~f(x)~$ ，则 $~f^{'}(x)~|~f(x)~$ 的充要条件是 $~f(x)~$ 有 $~n~$ 重根。

(7)、设 $~V~$ 是 $~n~$ 维线性空间，则存在 $~V~$ 的真子空间 $~V_1,V_2,\dots,V_s~$ ( $s~$ 为正整数)，使得
$V=V_1\cup V_2\cup\dots\cup V_s$

(8)、设 $~V~$ 是 $~n~$ 维线性空间， $~\sigma_i~$ 是 $~V~$ 上可对角化的线性变换， $~i=1,2,\dots~,$ 且 $~\sigma_i~$ 和 $~\sigma_j~$ 可交换， $~i,j=1,2,\dots,~$ ，则存在 $~V~$ 的一组基，对任意的 $~i=1,2,\dots,~$ ， $~\sigma_i~$ 在该基下的矩阵为对角阵。

(9)、设 $~A(\lambda),B(\lambda)~$ 为数域 $~\mathbb{P}~$ 上的 $~n~$ 阶 $~\lambda-$ 矩阵，则 $~A(\lambda),B(\lambda)~$ 等价的充分必要条件为 $~A(\lambda),B(\lambda)~$ 有相同的初等因子组。

(10)、设 $~\sigma~$ 是欧氏空间 $~V~$ 的线性变换，则 $~\sigma~$ 是正交变换的充要条件是对任意的 $~\alpha,\beta\in V~$ ，都有
$<\alpha,\beta>=<\sigma(\alpha),\sigma(\beta)>$
其中 $~<\alpha,\beta>~$ 表示 $~\alpha~$ 与 $~\beta~$ 的夹角。

3、计算题（共 5 题，每小题 10 分，共 50 分）
(1)、计算行列式
$D_n\begin{vmatrix} 2a^2&a^2\\ 1&2a&a^2\\ &1&2a^2&a^2\\ &&\ddots&\ddots&\ddots\\ &&&1&2a&a^2\\ &&&&1&2a \end{vmatrix},~~其中~a\neq 0 .~$

(2)、已知非线性方程组
$\begin{cases} &2x_1&+&x_2&+&3x_3&-&3x_4&=1\\ &4x_1&+&3x_2&+&5x_3&-&x_4&=b\\ &ax_1&+&x_2&+&x_3&+&x_4&=-1 \end{cases}$
有 $~3~$ 个线性无关的解，求参数 $~a,b~$ 的值与方程组的通解。

(3)、设数域 $~\mathbb{P}~$ 上多项式
$f(x)=x^5+x^4+2x^2+1\\ g(x)=x^4-x^2+2x-1$
求 $~f(x),g(x)~$ 的首一最大公因式 $~(f(x),g(x))~$ ，以及多项式 $~u(x),v(x)~$ ，使得
$u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x))$ .

(4)、设复矩阵
$A=\begin{pmatrix} 2&0&-1&-1\\ -1&2&1&0\\ 0&0&1&-1\\ 0&0&1&3 \end{pmatrix}$
求 $~A~$ 的 $~Jordan~$ 标准形。

(5)、设实二次型
$f(x_1,x_2,x_3)=2(x_1x_2-x_1x_3+x_2x_3)$
(i) 求正交变换 $~X=QY~$ ，使二次型 $~f(x_1,x_2,x_3)~$ 化为标准形，并写出相应的标准形。

(ii) 在直角坐标系 $~O_{xyz}~$ 中，二次曲面 $~\sum~$ 的方程为
$xy-xz+yz=\frac{1}{2}$
试建立新直角坐标系 $~O_{x'y'z'}~$ ，将其化为标准方程，并要求给出新坐标轴正向单位向量在原坐标系下的坐标。

4、证明题（50 分）
(1)、(10 分) 设 $~\sigma~$ 是欧式空间 $~V~$ 上的线性变换， $~W~$ 是 $~\sigma~$ 上的不变子空间，证明 $~W^{\perp}~$ 也是 $~\sigma~$ 的不变子空间。

(2)、(10 分) 设 $~n~$ 阶方阵 $~A~$ 有 $~n~$ 个线性无关的特征向量， $~X_1,X_2,\dots,X_n~$ ，其中 $~X_1~$ 为 $~A~$ 的属于特征值 $~\lambda_1~$ 的特征向量，证明方程 $~(\lambda_1E-A)X=X_1~$ 无解，其中 $~E~$ 为单位矩阵， $~X~$ 为未知向量。

(3)、(15 分) 设矩阵 $~B~$ 满足 $~B^2=B~$ ，则称 $~B~$ 为幂等阵.
(i)、设 $~B~$ 是 $~n~$ 阶幂等阵，证明：
$\rm{rank ~B}+\rm{rank (E-B)}=n$
其中 $~\rm{rank~B}~$ 表示 $~B~$ 的秩， $~E~$ 为单位阵。

(ii)、设 $~B_1，B_2~$ 都是 $~n~$ 阶幂等阵， $~A=B_1B_2~$ ，且 $~\rm{rank} ~A<n~$ 。证明:
$\rm{rank}(E-A)\le2n-rank~B_1-rank~B_2$

(4)、(15 分) 设 $~A=(a_{ij})_{n\times n}\in\mathbb{R}^{n\times n}~$ 是正定矩阵，证明:

(i)、 $~n~$ 元二次型
$f(x_1,\dots,x_n)=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}&x_1\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}&x_2\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}&x_n \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A&X\\\rm{X^{T}}&0\end{vmatrix}$
为负定二次型，其中
$X=(x_1,\dots,x_n)^{T}$

(ii)、 $\vert A\vert \le a_{nn} \triangle_{n-1}$ ，其中
$\triangle_{n-1}=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1,n-1}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2,n-1}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{n-1,n-1} \end{vmatrix}$
为 $~A~$ 的 $~n-1~$ 级顺序主子式.

最后编辑于：2022.08.15 16:16:15

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