好题分享2018.11.26

因数和

$1-200$ 中，因数和为奇数的数一共有____个

答案：24

解析：约数和公式：

$A=2^a\times3^b\times5^c\times\cdots=(2^0+2^1+2^2+\cdots+2^a)\times(3^0+3^1+3^2+\cdots+3^b)\times(5^0+5^1+5^2+\cdots5^c)\times\cdots$

第一个括号内，因为2是偶数，因此最终和定为奇数；

其余括号内质因数均为奇数，因此要使得和为奇数，即要求共有奇数项，即 $b,c,d,\cdots$ 均为偶数

①若 $a$ 为偶数，则 $A$ 一定是一个完全平方数，那么200以内的完全平方数共有14个

②若 $a$ 为奇数，则 $\dfrac{A}{2}$ 是一个完全平方数，即找100以内的完全平方数，共有10个

综上，约数和为奇数的数共有24个

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