207. 课程表

题目来源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/course-schedule

题目

你这个学期必须选修 numCourse 门课程，记为 0 到 numCourse-1 。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。例如，想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示他们：[0,1]

给定课程总量以及它们的先决条件，请你判断是否可能完成所有课程的学习？

示例 1:

输入: 2, [[1,0]]
输出: true
解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0。所以这是可能的。

示例 2:

输入: 2, [[1,0],[0,1]]
输出: false
解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成课程 0；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1。这是不可能的。

提示：

输入的先决条件是由 边缘列表 表示的图形，而不是 邻接矩阵 。详情请参见图的表示法。
你可以假定输入的先决条件中没有重复的边。
1 <= numCourses <= 10^5

解题思路

思路：拓扑排序（BFS，DFS）

其实，这是一道经典的【拓扑排序】问题。

首先先审题，结合示例 1 和示例 2，我们其实可以看到，其实题目问的是给定输入先决条件表示的图形（也就是课程表）是否是有向无环图。也是说，当确定先决条件之后，图形不能存在环，否则不成立。

有向无环图（DAG）：指的一个有向图从任意顶点出发无法经过若干条边回到该点，则该图是一个有向无环图。

有向无环图，详细信息可由下方入口进行了解
https://en.wikipedia.org/wiki/Directed_acyclic_graph （维基百科：有向无环图）
https://baike.baidu.com/item/%E6%9C%89%E5%90%91%E6%97%A0%E7%8E%AF%E5%9B%BE/10972513?fr=aladdin （百度百科：有向无环图）

那么当要求课程安排图是否是有向无环图时，我们用拓扑排序来判断。拓扑排序：将图所有顶点进行排序成线性序列，使得图中任意一个有向边 uv，u 在线性序列中出现在 v 前面。

拓扑排序，详细信息可由下方入口进行了解
https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_sorting （维基百科：拓扑排序）
https://baike.baidu.com/item/%E6%8B%93%E6%89%91%E6%8E%92%E5%BA%8F/5223807?fr=aladdin （百度百科：拓扑排序）

在题目中的提示中有说明，输入的先决条件时由 边缘列表 表示，在这里，我们要将此转换为 邻接表。

邻接表，详细信息可由下方入口进行了解
https://en.wikipedia.org/wiki/Adjacency_list （维基百科：邻接表）
https://baike.baidu.com/item/%E9%82%BB%E6%8E%A5%E8%A1%A8/9796152?fr=aladdin （百度百科：邻接表）

广度优先搜索（BFS）

首先，先将边缘列表表示的先决条件转换得到邻接表。然后统计图中每个节点的入度情况，存储在一个列表中。（当入度为 0 时，表示点不作为任何边的终点，也就说该点是所有连接边的起点）

在这里，定义辅助队列 queue，将所有入度为 0 的节点存入队列中，用于后续处理。

开始进行搜索，令队列中的节点出队：

将当前节点邻接节点入度减 1；
当邻接节点入度为 0 时，将其入队。

当队列中的节点出队时，令课程总量减 1：

如果课程图是有向无环图，若完成拓扑排序，那么所有的节点都会入队出队；
若是课程图存在环，那么一定存在节点入度不为 0 的情况；
也就是说，当所有节点入队出队后，课程总量为 0 的情况下，也就能证明课程图是否是有向无环图。

具体的代码见【代码实现 # 广度优先搜索】

深度优先搜索（DFS）

我们先看使用深度优先搜索的思路来判断图是否有环。

在这里，我们借助一个辅助列表（当然也可以考虑用栈）标记每个节点的状态：

未标记，令此时状态为 0；
临时标记，令此时状态为 1；
永久标记，令此时状态为 -1。

开始对每个节点进行深度优先搜索，当存在环时，返回 False，执行过程如下：

当节点状态为 -1 时，表示已永久标记，此时已搜索完毕，不许重复搜索，直接返回 True；
当节点状态为 1 时，表示临时标记，也就说此节点，在此次深搜中又一次对该节点进行了搜索，那么表示图中存在环，那么直接返回 False；
当状态为 0 时，先将节点临时标记（令状态为 1），然后以此点继续搜索，直至遇到终止条件。
当节点搜索完毕，未发现闭环，则去除临时标记，将节点进行永久标记（令状态为 -1）

如果所有节点都搜索完毕后，不存在环，则返回 True。

具体的代码见【代码实现 # 深度优先搜索】

代码实现

# 广度优先搜索
class Solution:
    def canFinish(self, numCourses: int, prerequisites: List[List[int]]) -> bool:
        from collections import deque

        # 将边缘列表表示的先决条件转化为 邻接表
        adjacency = [[] for _ in range(numCourses)]
        # 定义列表统计图中每个节点的入度情况
        indegree = [0] * numCourses

        for info in prerequisites:
            adjacency[info[1]].append(info[0])
            indegree[info[0]] += 1
        
        queue = deque()

        # 将入度为 0 的节点入队
        for i in range(len(indegree)):
            if not indegree[i]:
                queue.append(i)
        # 开始进行搜索
        while queue:
            u = queue.popleft()
            numCourses -= 1
            # 搜索邻接节点
            for v in adjacency[u]:
                # 将邻接节点入度减 1
                indegree[v] -= 1
                # 如果入度为 0，入队
                if indegree[v] == 0:
                    queue.append(v)

        return numCourses == 0

# 深度优先搜索
class Solution:
    def canFinish(self, numCourses: int, prerequisites: List[List[int]]) -> bool:
        def dfs(adjacency, sign, i):
            if sign[i] == -1:
                return True
            if sign[i] == 1:
                return False
            # 开始搜索，先进行临时标记
            sign[i] = 1
            # 以此节点往下搜索
            for j in adjacency[i]:
                if not dfs(adjacency, sign, j):
                    return False
            sign[i] = -1
            return True

        # 定义辅助列表标记状态，初始化为 0，表示未标记
        sign = [0] * numCourses
        # 将边缘列表表示的先决条件转化为 邻接表
        adjacency = [[] for _ in range(numCourses)]
        for info in  prerequisites:
            adjacency[info[1]].append(info[0])
        
        # 开始深搜
        for i in range(numCourses):
            if not dfs(adjacency, sign, i):
                return False
        return True

实现结果

实现结果 | 广度优先搜索

实现结果 | 深度优先搜索

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