链接两个点的曲线有无数多条，其中最常见的是直线，这是废话。

现实生活中比较常见的要求，一般是给定N个点后，求一条光滑曲线将它们链起来。

这里光滑的准确定义，是处处一阶可导且连续，也就是所谓的C1曲线。

这也就是说，我们是可以用分段曲线来当作一条光滑曲线用的，只要每个分段的连接处左方向导和右方向导相同就可以了。

在PS中，这样的工具被称为钢笔工具，而上述方向导，就是钢笔工具每个节点上那两个左右可调节距离和方向的“点”。

在数学上，满足上述要求的最常见的曲线，是贝塞尔曲线，而且一般是二阶贝塞尔曲线。

二阶贝塞尔曲线的特点，就是有四个参数，第一个和最后一个参数给出了曲线的起点和终点，而且曲线是必然会到达这两个点的。

而第二个参数决定了曲线在起点处的方向导（为从起点指向第二个参数所代表的点的矢量，的三分之一。为何会有这个参数？这个问题太数学了，大家别管）。

同样的，第三个参数决定了曲线在曲线在终点位置的方向导。

所谓两段二阶贝塞尔曲线在给定点上光滑相连，意思就是曲线1在终点处的方向导和曲线2在起点处的方向导同向等大（这两个点当然是同一个点了，废话）。

而且，一般来说只要同向其实也就足够了。

所以，N点光滑连接的问题现在就很简单了，转化成了N－1条二阶贝塞尔曲线的光滑连接问题。

曲线1在终点处的方向，等于第三参数点指向终点的矢量；曲线2在起点处的方向，等于起点指向第二参数点的矢量。

所以，所谓光滑连接，就是让上述两个矢量相等。

OVER。

实际操作的时候，曲线n的第一个参数，起点，就是第n个点的实际位置，而终点就是第n＋1个点的位置。

第一条曲线的第二参数和第二条曲线的第三参数可以任意，一般可以选择起点和终点的中点，或者靠近所要点的三分之一点为所需参数，要美观一点的就自己看情况来做算法了，比如我的个人爱好是第一条曲线的第二参数就是第三参数，最后一条曲线的第三参数就是第二参数。

然后就是曲线n的第三参数和曲线n＋1的第二参数，这个选择可以这么来做：

设点p(n)处的矢量v(n)为v(n)=(p(n+1)-p(n-1))/2，那么p(n)点作为终点的曲线l(n-1)的第三参数就是p(n)-v(n)，而以它为起点的曲线l(n)的第二参数就是p(n)+v(n)。

战斗结束。

当然，对v可以左一定的缩放，总是可以满足光滑这个需求的，下一步所需的就是如何美观的问题，可以适当调节这个缩放参数。建议在[0,1]这个范围里调，其实1已经不错了。

当我们在PS中使用钢笔工具，不做认为调整的时候，其实PS的算法就类似上面的过程。

当然，我们自己可以调节每个节点的方向和大小，这就是人为微调了，如果要程序自动化，这个过程就不考虑了。