67. 二进制求和
题目来源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/add-binary
题目
给你两个二进制字符串，返回它们的和（用二进制表示）。
输入为 非空 字符串且只包含数字 1 和 0。
示例 1:
输入: a = "11", b = "1"
输出: "100"
示例 2:
输入: a = "1010", b = "1011"
输出: "10101"
提示：
- 每个字符串仅由字符 '0' 或 '1' 组成。
- 1 <= a.length, b.length <= 10^4
- 字符串如果不是 "0" ，就都不含前导零。
解题思路
思路：位运算
题目提示中说明，如果字符串不是 “0”，那么都不含前导零。在这里先用普通的加法来尝试解决问题，由于这个前提，在进行加法运算的时候，需要先将字符进行补位，然后逐位相加。
这个方法的具体步骤如下：
- 先对两个字符串进行补位，方便逐位相加
- 在这里，字符相加可能会有进位，这里用
carry变量储存 - 将逐位相加的结果存储在列表中，最后转成字符串返回。
关于这个方法的代码大致如下：
def addBinary(self, a: str, b: str) -> str:
while len(a) > len(b):
b = '0' + b
while len(a) < len(b):
a = '0' + a
ans = [0] * len(a)
# 记录逐位相加的结果，
# 判断是否有进位
add_res = 0
carry = 0
for i in range(len(a)-1, -1, -1):
add_res = int(a[i]) + int(b[i]) + carry
# 字符只包含 1 和 0
# 不包含进位，相加结果最大为 2
# 包含进位，可能为 3
if add_res >= 2:
carry = 1
# 逢 2 进位，当前位置的元素则为 add_res - 2
ans[i] = str(add_res - 2)
else:
carry = 0
ans[i] = str(add_res)
# 最后还需要再次确认，最终的运算中是否有进位
return ''.join(['1'] + ans) if carry else ''.join(ans)
这段代码使用的普通加法进行解决问题。下面尝试不用加减法来解决问题，这里涉及的就是位运算。
这里再提及下，按位与，异或 运算。
按位与 运算：是指参与运算的两数对应二进制相与。运算的规则是，当对应的进制位都为 1 时，结果才为 1，否则都为 0。
异或 运算：也叫半加运算，因为它的运算法则相当于不带进位的二进制加法。例如：
- 0⊕0=0，
- 1⊕0=1，
- 0⊕1=1，
- 1⊕1=0
可以看出，异或运算法则与加法法则相同，但是不带进位。
回到当前的题目，我们现在要用位运算来模拟加法求出结果。现在我们拆解一下，先进行 异或 运算，求得无进位结果。根据 按位与，同为 1，结果位才是 1 的运算规则，可以求得进位。循环运算，直到最终进位为 0 时，也就能得到结果。
具体的算法设计如下：
- 首先将给定字符串 a, b 转换为整数型数字 m, n
- 当有进位时：
- 先进行 异或 运算： ans = m ^ n
- 再进行 按位与 运算获得进位： carry = (m & n) << 1。（这里左移是因为进位应该在更高一位）
- 重置 m, n 的值。此时 m 表示无进位相加结果， n 表示进位，继续循环
- 上面 m 相当于存储结果，返回 m 的二进制形式（注意返回字符中
0b）
具体的代码实现如下。
代码实现
class Solution:
def addBinary(self, a: str, b: str) -> str:
# 转换为整数型数值
m, n = int(a, 2), int(b, 2)
# n 在循环中存储进位
# 当进位为 0，循环结束
while n:
# 异或计算无进位相加结果
ans = m ^ n
# 计算进位
# 进位应该在更高一位，所以需要左移
carry = (m & n) << 1
# 重置 m，n；此时 m 存储结果，n 存储进位
m = ans
n = carry
# m 存储结果，当 n 为 0，表示无进位
# 循环结束，返回 m 的二进制形式
# 注意转换成二进制形式的前缀 '0b'
return bin(m)[2:]
实现结果
实现结果
总结
- 先使用普通的加法解决问题，具体实现如下：
- 因为要进行逐位相加，那么需要对给定的字符进行补位；
- 进行逐位相加，（字符仅包含 0 和 1），逢 2 进 1，那么需要定义 carry 变量保存进位；
- 将逐位相加的结果放到列表中，后面转换为字符串返回。
- 题目中虽然没有提及不可使用加减法。但是如果有所限制的话，可以考虑使用位运算模拟加法。
- 这里涉及到两个位运算：按位与 和 异或
- 按位与 运算：是指参与运算的两数对应二进制相与。运算的规则是，当对应的进制位都为 1 时，结果才为 1，否则都为 0。
- 异或 运算：也叫半加运算，因为它的运算法则相当于不带进位的二进制加法。
- 关于使用位运算的实现方法：
- 先进行异或运算，求得无进位相加结果
- 在进行按位与运算，根据按位与的运算法则可以求得进位。
- 循环计算，当进位为 0 时，则可以得到结果。
