材料力学：第四章

一、切应力互等定理，剪切胡克定律

  1. 切应力互等定理
    在两个相互垂直的平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向共同指向或共同背离这一交线。
    只有切应力、没有正应力的状态，称为纯切应力状态。
  2. 剪切胡克定律
    当切应力小于等于切应力比例极限\tau_p时，有\tau=G\gamma。其中\tau为切应力，\gamma为切应变，E为杨氏模量。则：
    G=\frac{E}{2(1+\nu)}

二、圆轴扭转时横截面上的切应力分析

  1. 平面假定与切应变分布规律
    平面假定：圆轴受扭发生变形时，其横截面保持平面，并刚性地绕轴线转动一角度，两相邻截面的轴向间距保持不变。
    变形协调方程：\gamma(\rho)=\frac{\rho d\varphi}{dx}
    其中\frac{d\varphi}{dx}为扭转角沿轴线x的变化率，为常量。
    即切应变与其到横截面中心的距离成正比。
  2. 横截面的切应力分布
    \tau_\rho=G\gamma_\rho=G\rho \frac{d\varphi}{dx}
    即切应力与其到横截面中心的距离成正比。
    切应力分布
  3. 圆轴扭转时扭转角变化率，横截面上的切应力表达式
    M_x=\int_{A}(\tau_\rho dA)\rho \Longrightarrow \frac{d\varphi}{dx}=\frac{M_x}{GI_P}
    其中I_\rho =\int_{A}\rho ^2 dA为极惯性矩，GI_P为扭转刚度。
    \tau(\rho)=\frac{M_x \rho}{I_P}
    则最大正应力\tau_{max}=\frac{M_x\rho_{max}}{I_P}=\frac{M_x}{W_P}
    常用极惯性矩：
    圆截面I_p=\frac{\pi d^4}{32}，圆环截面I_p=\frac{\pi D^4(1-\alpha ^4)}{32},\alpha =\frac{d}{D}
    常用扭转截面系数：
    实心轴W_p=\frac{\pi d^3}{16}，空心轴W_p=\frac{\pi D^3 (1-\alpha^4)}{16}

三、非圆截面杆扭转时的切应力

  1. 翘曲非圆截面杆扭转时，横截面外周线将改变原来的形状，并且不再位于同一平面内。
    应用平衡方法得到的结论：
  • 非圆截面杆扭转时，横截面上周边各点的切应力沿着周边切线方向；
  • 对于有凸角的多边形截面杆，横截面上凸角点处的切应力为零。
    对于矩形截面杆：
    矩形截面

    长边中点处：\tau_{max}=\frac{M_x}{C_1hb^2}
    短边中点处：\tau=C_{1}' \tau_{max}
    对于狭长矩形截面：
    狭长矩形截面

    \tau_{max}=\frac{M_x}{C_1hb^2}
    其中C_1\approx \frac{1}{3}，故\tau_{max}=\frac{3M_x}{h\delta^2}
    两类切应力：扭转切应力和弯曲切应力。

四、薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力流与弯曲中心

  1. 切应力流
  • 由于壁很薄，故切应力沿壁厚方向可认为时均匀分布；
  • 若杆件表面无切向力作用，则薄壁截面上的切应力作用线必平行于截面周边的切线方向，形成切应力流。
    对于槽形的截面：
    槽型截面

    推导过程

    d\sigma_x=\frac{(-dM_z)y}{I_z},dM_z=dxF_Q,dF_{Nx}=\int_{A^*}d\sigma_xdA
    \Longrightarrow\tau=\tau'=\frac{1}{I_z \delta}\frac{dM_z}{dx}\int_{A^*}ydA=\frac{F_QS_z^*}{I_z\delta}
  1. 弯曲中心
    与切应力相对应的分布力系向横截面所在平面内的某一点简化，将得到的只是一个力，这个力的作用点，称之为弯曲中心。
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