上一篇介绍了债券定价，其中假定贴现率是固定的，这是为了方便计算证券的价格。然而在现实世界中这种情况是非常罕见的，在现实世界中利率是在不停地变化的。
通常情况下，长期债券的利率会比短期债券的利率高（也会有例外）。原因有二：
- 一是长期债券风险较大。因此投资者会要求更高的收益率，作为承担利率风险的补偿，也就是所谓的“风险溢价”。
- 二是投资者预期利率会上升。因此较高的平均收益率反应了对债券后续寿命期的高利率预期。
这种对不同期限金融工具的收益率与到期期限之间关系的研究，称为利率的期限结构研究。
一、远期利率
首先，我们要引入一个新的利率概念——远期利率。远期利率是隐含在给定的即期利率中，从未来的某一时点到另一时点的利率水平。公式如下：
这个公式说明远期利率相当于：使得一个n期零息债券的到期收益率，等于n-1期零息债券在第n期再投资所得总收益的利率。在现实市场中，我们无从得知未来的真实利率，因此只能根据已知的利率yn和yn-1去推断远期利率fn。
远期利率只是投资者在未来利率不确定的情况下所推断出来的利率。在现代金融分析中，远期利率可以预示市场对未来利率走势的期望，是中央银行制定和执行货币政策的参考工具。
二 、期限结构理论
1. 预期理论
预期理论也叫做无偏预期利润，最早是由欧文·费雪（Irving Fisher，1892）提出的。这个理论认为利率期限结构完全取决于投资者对未来利率的市场预期，在假定投资者是风险中性且不同到期期限的债券可以被完全替代的情况下，长期债券利率是预期短期债券利率的几何平均。
以两期债券为例，到期收益率y2取决于第一期短期市场利率r1（现在的短期市场可以观测到）和对第二期市场利率r2的期望（下一期的市场短期利率现在并观测不到）。
其中，第一个等式是远期利率的定义公式，预期理论认为上述公式的第二行等式也成立。也就是债券的两期收益要等于第一期收益加上投资者预期的第二期收益。
这套理论暗含了一个条件：远期利率必须是对未来短期利率的无偏预期，也就是下一期的远期利率要等于下一期的短期利率的预期。如果预期未来利率上升，则利率期限结构会呈上升趋势；如果预期未来利率下降，则利率期限结构会呈下降趋势。即利率期限结构完全取决于对未来利率的市场预期。
但事实上这个条件很难满足。因为我们的预期往往是有偏的，而且投资者并不是风险中性的，承担风险往往要求更高的回报。因为在远期利率和预期利率中间会存在一个溢价。这是不是意味着预期理论没有它的意义呢？其实不是的。预期理论也可以用来解释一些经济现象。例如随着时间的推移，不同到期期限的债券利率有同向运动的趋势。当然它也有很多的缺陷，比方说它无法解释为何在现实中收益率曲线一般是向上倾斜的，也不能解释收益率曲线有时候形状很复杂。
2. 分割市场理论
分割市场理论是由Culberston于1957年提出的。该理论将不同到期期限的债券市场看作完全独立和相互分割的。也就是说有些投资者只愿意投资五年期的债券，有些投资者只愿意投资一年期的债券，那么这些债券是没有可替代性的，到期期限不同的每种债券的利率取决于该债券的供给与需求。同时它假定不同到期期限的债券很难相互替代，因此其他到期期限的债券预期回报率对本债券的利率没有什么影响。这一点正好与预期理论的假设相反，在市场分割理论中投资者对债券的选择是有偏好的。正是这些偏好的产生和限制才形成了不同期限的债券市场。投资者和债券的发行者都不能无成本实现资金在不同期限的债券之间的随意转移。因此，债券市场并不是一个统一的无差别的市场，而是分别存在着短期市场、中期市场和长期市场。
如果大多数投资者偏好期限较短的债券，则收益率曲线会向上倾斜；如果大部分的投资者偏好投资长期债券，则收益率曲线将会向下倾斜。在现实的投资环境中，一般来讲投资者更加偏好期限较短、风险较小的短期债券。
当然，该理论无法解释为何不同期限的利率会有相同波动的现象。因为市场分割理论认为短期利率与长期利率的相关性是比较弱的。但事实上市场上可以观测到的短期利率和长期利率之间紧密相关，相关系数非常高。由此可知市场分割理论也不是一个完美的解释。
3. 流动性偏好理论
流动性偏好理论是由Hicks在1946年对预期理论进行修正而提出的。
该理论假定投资者是风险厌恶的，不再是风险中性的，他们放弃持有现金转而持有流动性差的债券，将面临价格波动的风险，理应得到补偿，债券期限越长则补偿应该越多。还是以两期债券为例：
两期债券的收益率y2，不仅取决于短期利率r1和对未来短期利率r2的预期，还取决于投资者对流动性的偏好LP。也就是说在确定远期利率时，除了预期信息外，还要加上流动性溢价。这样不仅能够解释收益率曲线的趋势特征，还揭示了收益率曲线为何一般是向上倾斜的原因。
流动性偏好理论还假定不同期限的债券之间存在一定的可替代性，这意味着一种债券的预期收益率确实可以影响不同期限债券的收益率。但不同期限的债券并不是完全替代的，因为投资者对不同期限的债券可能会有一些不同的偏好。
然而，这样的一个理论也不是完美的。流动性偏好理论中投资者总是偏好期限较短的债券这一假定在现实金融交易中并不总是成立，比如养老金机构投资者会更偏好长期债券。
三 、利率倒挂
一般来说，长期债券利率是高于短期债券利率的。但是在实际中也有很多例外。2019年8月份美国市场上出现了10年期收益率低于2年期收益率的现象，也就是所谓的“利率倒挂现象”。利率倒挂现象往往被认为是一个国家经济衰退的预警。
上图可以看出美债长短期利差在2019年8月份变为负数，之后GDP的增速也跌落了一个低谷。
回顾比较长周期的美国国债的历史，我们发现在1978年，1980年，1989年，2000年，以及2006年，美国的国债利率都发生了利率倒挂现象，随之而来可以发现几次的债券利率的倒挂随后都跟随着经济衰退。衰退期平均发生在倒挂信号后的14个月，最快发生在信号发出后短短7个月。当然啦，此次利率倒挂现象比较短暂，因为十月份美联储就实行了非量化宽松方式的扩表。因此，判断一国经济趋势不能盲目地只关注一个点，而需要考虑包括利率，通胀，IP指标等等的一个全局的思路。
相关经典文献：
- Jabbour和Mansi (2002)对静态利率期限结构模型进行了评述；
- Dai和Singleton (2003)对动态利率期限结构模型进行了评述；
- 对于利率期限结构的深入分析可以参考Cochrane(2005)的著述；
