2.5.3 常用连续分布 - 指数分布

参考：
https://mp.weixin.qq.com/s/uP2hMlEInuZ6yxsEfkD_VQ
https://www.jianshu.com/p/6ee90ba47b4a

指数分布和泊松分布息息相关。

指数分布解决的问题是“要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间”
泊松分布解决的是“在特定时间里发生n个事件的机率”。
伽玛分布解决的问题是“要等到n个随机事件都发生，需要经历多久时间”
所以，伽玛分布可以看作是n个指数分布的独立随机变量的加总，即，n个Exponential(λ)random variables--->Gamma(n,λ）

泊松分布的PDF可以用来表示一段时间内，发生概率稳定的小概率独立事件发生的情况；
反过来也可以通过单位时间内发生的次数 $\lambda$ 相关的泊松分布PDF，与已有的概率密度观测值来推断发生概率是否稳定
例如

每周卖出的罐头数
每年发生的枪击案

举一个泊松分布的例子，类似于罐头库存：
馒头店老板统计了一周中每天卖出的馒头数，如下

	销售数量
周一	3
周二	7
周三	4
周四	6
周五	5

从中可以得到最简单的规律，均值：
$\overline{X}=\frac{3+7+4+6+5}{5}=5$
从泊松分布一节可以知道每天卖出的馒头数X服从 $\lambda=\overline{X}$ 的泊松分布，
记作 $X\sim P(\lambda),\lambda=\overline{X}=5$
所以有
$P(X=k)=\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}$
可求得概率密度与累计概率

每天卖出馒头数	概率密度	累计概率
0	0.0067	0.0067
1	0.0337	0.0404
2	0.0842	0.1247
3	0.1404	0.265
4	0.1755	0.4405
5	0.1755	0.616
6	0.1462	0.7622
7	0.1044	0.8666
8	0.0653	0.9319
9	0.0363	0.9682
10	0.0181	0.9863
11	0.0082	0.9945

概率密度分布如下：

image.png

讨论另外一个问题，馒头卖出之间的时间间隔：

image.png

可以看出也是随机变量（也就是图中的），不过相对馒头卖出个数而言，时间间隔肯定是连续的随机变量。

既然都是卖馒头的问题，那么还是让我们从已知的泊松分布上想想办法。
之前得到的泊松分布让我们知道了每天卖出的馒头数，所以下面按天来分析看看。

设某一天没有卖出馒头，比如说周三吧，这意味着，周二最后卖出的馒头，和周四最早卖出的馒头中间至少间隔了一天：

image.png

当然也可能运气不好，周二也没有卖出馒头。那么卖出两个馒头的时间间隔就隔了两天，但无论如何时间间隔都是大于一天的：

image.png

而某一天没有卖出馒头（即k=0）的概率可以由泊松分布得出：

$P(X=0)=\frac{\lambda^{0}}{0!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda}$

根据上面的分析，卖出两个馒头之间的时间间隔要大于一天，
那么必然要包含没有卖出馒头的这天，所以两者的概率是相等的。
如果假设随机变量为：

Y = 卖出两个馒头之间的时间间隔

那么就有
$P(Y>1)=P(X=0)=e^{-\lambda}$

之前求出的泊松分布实在限制太大，只告诉了我们每天卖出的馒头数。
不过没有关系，稍微扩展下可以得到新的函数：
$P(X=k,t)=\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t}$
其中 $\lambda t$ 为一天，所以 $t$ 表示 $\frac{1}{\lambda}天$ ，有

	$t$	$PDF$
每天卖出的馒头数	$1$	$P(X=k,1)=\frac{(\lambda)^{k}}{k!}e^{-\lambda}$
每 $\frac{1}{2}$ 天卖出的馒头数	$\frac{1}{2}$	$P(X=k,\frac{1}{2})=\frac{(\frac{1}{2}\lambda)^{k}}{k!}e^{-(\frac{1}{2}\lambda)}$
每 $\frac{1}{8}$ 天卖出的馒头数	$\frac{1}{8}$	$P(X=k,\frac{1}{8})=\frac{(\frac{1}{8}\lambda)^{k}}{k!}e^{-(\frac{1}{8}\lambda)}$

两次卖出馒头之间的时间间隔大于 $t$ 的概率，根据之前的分析，等同于 $t$ 时间内没有卖出一个馒头的概率，
而后者的概率可以由泊松过程给出。至此所需的条件都齐备了，那么开始解题吧，假设随机变量：

Y = 卖出两个馒头之间的时间间隔

这个随机变量的概率可以如下计算：
$P(Y>t)=P(X=0,t)=\frac{{\lambda t}^{0}}{0!}e^{-\lambda t}=e^{-\lambda t},t\geqslant0$
进而有
$P(Y\leqslant t)=1-P(Y>t)=1-e^{-\lambda t}$
相当于得到了Y的累积分布函数：
$F(y)=P(Y\leqslant t)= \left\{\begin{matrix} 1-e^{-\lambda {y}},y \geqslant 0\\ 0\quad \quad \quad,y < 0 \end{matrix}\right.$
对其求导就可以得到概率密度函数：
$p(y)= \left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda {y}},y \geqslant 0\\ 0\quad \quad,y < 0 \end{matrix}\right.$

即Y = “卖出两个馒头之间的时间间隔”服从 $Y \sim Exp(\lambda)$ ，
参数 $\lambda$ 为每天卖出的馒头数量观察值的平均值。

卖出两个馒头之间的时间间隔	$PDF$
1	0.9933
2	0.0067

这里单看PDF没有意义。
该分布的数学期望 $E(y)=\frac{1}{\lambda}=0.2$
可理解为卖出两个馒头之间的时间间隔的均值是0.2天

推广到其他例子中：

卖出每个罐头的时间间隔的平均值为 $\frac{1}{\lambda}$ 周
每个枪击案发生的时间间隔的平均值为 $\frac{1}{\lambda}$ 年
TODO