2019-06-11

  • M进制调制的最佳接收
  • MAP：最大后验概率
  • 一维似然函数
    • 对于一维调制，若发送星座点为s_i的信号s_i(t) = s_if_1(t)，则接收信号是r(t) = s_if_1(t)+ n_w(t)
    • 投影到信号空间后是r = s_i+n
      • 其中n是高斯白噪声的投影，是均值为零，方差为\frac{N_0}{2}的高斯随机变量。
      • 似然函数是p(r|s_i) = \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}e^{-\frac{(r-s_i)^2}{N_0}}
      • f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
  • 二维似然函数
    • 对于二维调制，若发送星座点为s_i = (s_{i1},s_{i2})的信号s_i(t) = s_{i1}f_1(t)+s_{i2}f_2(t)，则接收信号是r(t) = s_i(t)+n_w(t)
    • 投影到信号空间后得到r(t)在该空间中的坐标向量为r = (r_1,r_2)，其中r_ 1 = s_{i1}+n_1,r_2 = s_{i2}+n_2，其中n_1,n_2是高斯白噪声的投影，它们是独立同分布的零均值高斯随机变量，方差均为\frac{N_0}{2}
  • 似然函数是
    • p(r|s_i) = \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}e^{-\frac{(r-s_{r1 })^2}{N_0}}\cdot \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}e^{-\frac{(r-s_{r2})^2}{N_0}} = \frac{1}{\pi N_0}e^{-\frac{\parallel r-s_i \parallel ^2}{N_0}}
  • 判决域
    • 判决器是一个函数映射，它将R^N中的点映射到集合\{ s_1,s_2,...,s_M\}。反过来看，集合\{ s_1,s_2,...,s_M\}中的每个点对应R^N的一个子集，这样的子集叫判决域。
    • 判决器的工作是：如果接受向量r落在星座点s_i的判决域D_i内，则判决发送的是s_i
      • MAP判决域：判决域的划分满足，若r落入判决域D_i，则后验概率Pr\{s_i|r\} \geq Pr\{s_k|r\}, \forall k\neq i
    • ML决域：判决域的划分满足，若r落入判决域D_i，则似然概率Pr\{s_i|r\}一定是最大的，即Pr\{r|s_i \} \geq Pr\{ r|s_k \},\forall k\neq i，对于连续型随机变量，可将概率Pr\{ r|s_i \}换成概率密度。
    • 贝叶斯公式：后验概率Pr\{s_i|r\}、似然概率 Pr\{r|s_i\}、先验概率Pr\{s_i\}，三者之间的关系：Pr\{ s_i|r \} = \frac{Pr\{ r|s_i\} Pr\{s_i\}}{Pr\{r\}}
    • 先验等概时，MAP = ML:如果Pr\{ s_i\} = \frac{1}{M}与s_i无关，则Pr\{ s_i|r \} = \frac{Pr\{ r|s_i\}}{Pr\{r\}\cdot M}
  • 此时若Pr\{s_k|r\} \geq Pr\{s_{k^{'} }| r \}，必有Pr\{r|s_k \} \geq Pr\{ r|s_{k^{'} } \}，反之亦然。因此在先验等概的情况下，按MAP准则设计ML判决域就是MAP判决域。
  • AWGN信道
    • p(r|s_i) = \prod_{k = 1}^Np(r_k|s_{ik}) = \frac{1}{(\pi N_0)^{\frac{N}{2}}}e^{-\frac{\parallel r-s_i \parallel ^2}{N_0}}
    • 对于给定的r，如果某个s_i在所有s_1,s_2,...,s_M中对应有最小的p(r|s_i)，则该s_i也一定对应最小的\parallel r-s_i \parallel。
  • 对于AWGN信道，基于ML准则的判决规则，等价于寻求在距离上最接近于接收信号矢量r的信号s_i
  • MAP准则，先验等概 ，ML准则，AWGN信道，最小距离检测
  • AWGN下M进制确定信号的最佳接收过程：
    • r(t)投影r = [r_1,r_2,...,r_N]检测器（基于MAP或ML准则检测）
    • r_k = \int_{0}^{T_s}r(t)f_k(t)dt,解调器
    • 匹配滤波器等效实现r_k = \int_{0}^{T_s}r(t)f_k(t)dt = [\int_{-\infty}^{\infty}r(\tau)h_k(t-\tau)d\tau]_{t= T_s} = [\int_{-\infty}^{\infty}r(\tau)f _k(T_s-t+\tau)d\tau]_{t= T_s}
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