案例：数值模拟-随机漫步

数值模拟

用计算机模拟自然现象，达到研究现实问题的目的

随机漫步（随机游走，Random Walk）：

布朗运动的数学表达

广泛用于数学／物理／互联网／金融等行业扩散现象的数值模拟
一滴墨汁掉进水里，花粉的布朗运动／金融市场的价格走势／搜索引擎算法

描述：

从起点开始，随机移动一步
以移动后的点做起点，重复以上过程

使用随机漫步模拟股票历史价格走势

生成不同维度的随机漫步数据，可视化

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

stock = np.random.randint(0, 2, 100000)
stock[:100]

array([0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1,
       1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0,
       1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0,
       0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0,
       1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1])

可视化

折线图，x时间轴自增，不需要设置

# 不符合现实
# plt.plot(stock)
plt.plot(stock[:100])

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x7f4eb38>]

output_6_1.png

# 累加
stockSum = np.cumsum(stock)
stockSum[:100]

array([ 0,  0,  0,  0,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  2,  3,  3,  4,  5,  5,  5,
        6,  7,  8,  9, 10, 11, 11, 11, 11, 12, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 17,
       18, 18, 18, 19, 20, 20, 20, 21, 22, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 24, 25,
       25, 26, 27, 28, 28, 28, 28, 29, 30, 30, 31, 32, 32, 33, 33, 33, 33,
       34, 34, 34, 34, 34, 34, 35, 36, 36, 37, 37, 38, 39, 40, 40, 41, 41,
       41, 42, 42, 43, 43, 44, 44, 44, 45, 45, 45, 46, 47, 48, 49],
      dtype=int32)

# 不符合现实
plt.plot(stockSum[:100])

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x811cbe0>]

output_8_1.png

随机漫步的步长为1

# 将数据从0,1转为-1,1，
stock2 = np.where(stock == 0, -1, 1)
stock2[:100]

array([-1, -1, -1, -1,  1, -1, -1, -1, -1, -1,  1,  1, -1,  1,  1, -1, -1,
        1,  1,  1,  1,  1,  1, -1, -1, -1,  1,  1,  1,  1, -1, -1,  1,  1,
        1, -1, -1,  1,  1, -1, -1,  1,  1, -1,  1,  1, -1, -1, -1, -1,  1,
       -1,  1,  1,  1, -1, -1, -1,  1,  1, -1,  1,  1, -1,  1, -1, -1, -1,
        1, -1, -1, -1, -1, -1,  1,  1, -1,  1, -1,  1,  1,  1, -1,  1, -1,
       -1,  1, -1,  1, -1,  1, -1, -1,  1, -1, -1,  1,  1,  1,  1])

随机步长的起始值是上一次运动的终端值

# 累加
stockSum2 = np.cumsum(stock2)
stockSum2[:100]

array([-1, -2, -3, -4, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -7, -6, -7, -6, -5, -6, -7,
       -6, -5, -4, -3, -2, -1, -2, -3, -4, -3, -2, -1,  0, -1, -2, -1,  0,
        1,  0, -1,  0,  1,  0, -1,  0,  1,  0,  1,  2,  1,  0, -1, -2, -1,
       -2, -1,  0,  1,  0, -1, -2, -1,  0, -1,  0,  1,  0,  1,  0, -1, -2,
       -1, -2, -3, -4, -5, -6, -5, -4, -5, -4, -5, -4, -3, -2, -3, -2, -3,
       -4, -3, -4, -3, -4, -3, -4, -5, -4, -5, -6, -5, -4, -3, -2],
      dtype=int32)

plt.figure(figsize=(18, 12))
plt.plot(stockSum2)

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x817ec88>]

output_13_1.png

二维世界的随机漫步

1：生成随机数

x = np.random.randint(0, 2, 100000)
y = np.random.randint(0, 2, 100000)
x[:100]

array([0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1,
       0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1,
       0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0,
       0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0,
       0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1])

2: 修改步长，0转为-1

x2 = np.where(x == 1, 1, -1)
y2 = np.where(y == 1, 1, -1)
x2[:100]

array([-1, -1, -1,  1,  1, -1,  1,  1,  1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1,
       -1, -1, -1, -1,  1, -1, -1, -1,  1,  1,  1,  1, -1,  1, -1,  1, -1,
        1, -1,  1, -1, -1,  1, -1, -1, -1,  1, -1, -1,  1, -1, -1, -1, -1,
        1,  1, -1, -1, -1,  1,  1,  1, -1,  1, -1,  1, -1, -1, -1, -1,  1,
        1, -1,  1, -1, -1,  1, -1,  1, -1, -1, -1,  1, -1, -1,  1, -1,  1,
        1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1,  1, -1, -1,  1,  1])

3：本次移动起始点是上次移动终点，累加

x3 = np.cumsum(x2)
y3 = np.cumsum(y2)
x3[:100]

array([ -1,  -2,  -3,  -2,  -1,  -2,  -1,   0,   1,   0,  -1,  -2,  -3,
        -4,  -5,  -6,  -7,  -8,  -9, -10, -11, -10, -11, -12, -13, -12,
       -11, -10,  -9, -10,  -9, -10,  -9, -10,  -9, -10,  -9, -10, -11,
       -10, -11, -12, -13, -12, -13, -14, -13, -14, -15, -16, -17, -16,
       -15, -16, -17, -18, -17, -16, -15, -16, -15, -16, -15, -16, -17,
       -18, -19, -18, -17, -18, -17, -18, -19, -18, -19, -18, -19, -20,
       -21, -20, -21, -22, -21, -22, -21, -20, -21, -22, -23, -24, -25,
       -26, -27, -28, -29, -28, -29, -30, -29, -28], dtype=int32)

4：可视化

# %matplotlib notebook

plt.figure(figsize=(18, 18), dpi=300)
plt.plot(x3, y3)

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x84fdc18>]

output_23_1.png

随机漫步路径动态可视化

x3[:100]

x3[3]
x3[3-1]

-3

# 随机漫步动画，每帧走一步
plt.plot(
    x3[3:5],
    y3[3:5],
)

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x887fe48>]

output_26_1.png

%matplotlib notebook

from matplotlib.animation import FuncAnimation  # 载入动画子库

fig, ax = plt.subplots()

# 动画每帧调用的函数
def update(i):
    plt.title(i)  # frame的值，随调用遍历
    
    plt.plot(
        x3[i-2:i],
        y3[i-2:i],
    )
    
# 动画方法
ani = FuncAnimation(
    fig,  # 动画应用的图像
    update,  # 动画每帧都要调用的函数
    interval = 10,  # 动画帧间隔，毫秒
    frames = 100, # 动画帧数，对GIF有效，值调用函数内的i可以获取。可自定义值如range(50,100)
)

ani.save('line.gif', dpi=72, writer='imagemagick')  # 动画帧数如果过多，执行时间很长

<IPython.core.display.Javascript object>

[<mpl_toolkits.mplot3d.art3d.Line3D at 0xa4adda0>]

line.gif

随机漫步三维可视化

def d3(n):
    x = np.random.randint(0, 2, n)
    x2 = np.where(x == 1, 1, -1)
    return np.cumsum(x2)

d3(100)

array([  1,   0,   1,   2,   3,   2,   1,   0,   1,   2,   1,   2,   1,
         2,   3,   2,   3,   2,   3,   2,   3,   2,   3,   2,   1,   0,
         1,   2,   1,   0,   1,   0,  -1,  -2,  -3,  -2,  -1,   0,  -1,
         0,  -1,   0,   1,   0,  -1,   0,  -1,  -2,  -3,  -2,  -1,  -2,
        -3,  -4,  -3,  -4,  -3,  -4,  -5,  -6,  -5,  -4,  -5,  -6,  -7,
        -8,  -9,  -8,  -7,  -6,  -7,  -8,  -7,  -8,  -7,  -6,  -5,  -6,
        -7,  -8,  -7,  -6,  -5,  -6,  -7,  -8,  -7,  -6,  -5,  -6,  -7,
        -6,  -7,  -8,  -9,  -8,  -9, -10,  -9, -10], dtype=int32)

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D  # 载入三维子库

fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)

ax.plot(
    d3(5000),
    d3(5000),
    d3(5000),
)

<IPython.core.display.Javascript object>

image.png

案例：数值模拟 - 随机漫步