原文地址：https://alphahinex.github.io/2021/03/28/float-binary-conversion/
description: "包含符号位、指数位和小数位"
date: 2021.03.28 10:26
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tags: [Java, JavaScript]
keywords: 十进制, 二进制, 浮点数, float, double, ieee 754, binary
什么是浮点数
在计算机科学中，浮点（英语：floating point，缩写为FP）是一种对于实数的近似值数值表现法，由一个有效数字（即尾数）加上幂数来表示，通常是乘以某个基数的整数次指数得到。以这种表示法表示的数值，称为浮点数（floating-point number）。利用浮点进行运算，称为浮点计算，这种运算通常伴随着因为无法精确表示而进行的近似或舍入。 —— 维基百科
可以简单的将浮点数理解为小数（有限或无限的），如：-0.25、π、1.99714e5 等。
浮点数的表示形式
IEEE 二进制浮点数算术标准（IEEE 754）是目前最广泛使用的浮点数算术标准，为许多 CPU 与浮点运算器所采用。
IEEE 754 标准中，定义了五个基本的浮点数表示格式，其中包括三个二进制浮点数格式（32 位单精度、64 位双精度和 128 位四倍精度格式）和两个十进制浮点数格式。
我们通常所说的 Java 中的 float 类型即为 32 位单精度浮点类型，占 4 字节；double 类型即为 64 位双精度浮点类型，占 8 字节。
按照 IEEE 754 标准，浮点数的二进制表示由三部分组成：
- 符号位（sign）
- 指数位（exponent）
- 小数位（fraction）
单精度及双精度浮点的相关格式如下：
| 名称 | 常用名 | 小数位位数 | 指数位位数 | 指数偏移量 |
|---|---|---|---|---|
| binary32 | 单精度 | 24 | 8 | 2^7-1=127 |
| binary64 | 双精度 | 53 | 11 | 2^10-1=1023 |
单精度浮点数的二进制表示形式为：
双精度浮点数的二进制表示形式为：
十进制小数转换为二进制浮点数的方法
一个小数可能由整数和小数两部分组成，如 85.125，整数部分为 85，小数部分为 0.125。在转换为二进制时，需将整数部分和小数部分分别进行转换，转换方式也略有不同。
转换整数部分
整数部分的转换方式，可见 十进制整数与二进制数转换，85 转换为二进制的结果为 1010101。
转换小数部分
小数部分转换时，将小数乘 2，取乘积的整数部分放在二进制数的高位，之后将乘积去掉整数部分再重复执行前面步骤，直到乘积为 0 时终止，或者超出精度范围后终止。
以上例中的 0.125 为例，运算过程如下：
| 小数部分 * 2 | 乘积 | 乘积整数部分 |
|---|---|---|
| 0.125 * 2 | 0.25 | 0 |
| 0.25 * 2 | 0.5 | 0 |
| 0.5 * 2 | 1.0 | 1 |
| 0.0 * 2 | 0.0 | 0 |
故 0.125 转换之后的结果为 0.001。
连接 85.125 转换后的整数和小数部分，得到 1010101.001。
因为二进制运算中，乘以 2 相当于左移一位，除以 2 相当于右移一位，故 2^(-n) 的转换也可以按如下方式计算：
- 2^(-1) = 1.0/2=0.5 => 1.0(2) << 2 = 0.1(2)
- 2^(-2) = 0.5/2=0.25 => 0.1(2) << 2 = 0.01(2)
- 2^(-3) = 0.25/2=0.125 => 0.01(2) << 2 = 0.001(2)
- 2^(-4) = 0.125/2=0.0625 => 0.001(2) << 2 =0.0001(2)
转换为指数形式
1010101.001 转换为二进制的科学计数法，为 1.010101001 * 2^6。
填充符号位
以转换为单精度格式为例，先填充符号位，正数填 0，负数填 1：
填充指数位
1.010101001 * 2^6 的指数为 6，单精度浮点的偏移量为 127（双精度偏移量为 1023），故指数位应填入 127 + 6 = 133，转换为二进制为 10000101，直接填入指数位中：
填充小数位
小数部分直接填入空位即可：
如有空闲低位，直接补零，故 85.125 的单精度浮点数二进制表示为：
二进制浮点数转换为十进制
二进制浮点数转换为十进制时，可按上述过程反向运算。以单精度浮点数为例：
符号位为 0 代表正数；
指数位为 0111 1100 = 124，即 127 + (-3)，故上述浮点数的二进制科学计数法表示为：
1.01 * 2^(-3) = 0.00101
转换为十进制时，可按如下方式：
| 2^(-1) | 2^(-2) | 2^(-3) | 2^(-4) | 2^(-5) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
即 2^(-3) + 2^(-5) = 0.125 + 0.03125 = 0.15625。
