一、AVL树概念

1.性质：首先是一棵二叉查找树(中序遍历有序)，其次它是一棵空树或它的左右两棵子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两棵子树也是AVL树。
2.平衡因子
某节点的左子树和右子树的高度差即为该节点的平衡因子(BF，Balance Factor)。

二、AVL树基础设计

/**
 * AVLTree是BST，所以节点值必须是可比较的
 */
public class AvlTree<E extends Comparable<E>>{
    private class Node{
        public E e;
        public Node left;
        public Node right;
        public int height;

        public Node(E e){
            this.e = e;
            this.left = null;
            this.right = null;
            this.height = 1;
        }
    }

    private Node root;
    private int size;

    public AvlTree(){
        root=null;
        size=0;
    }

    //获取某一结点的高度
    private int getHeight(Node node){
        if(node==null){
            return 0;
        }
        return node.height;
    }
    
    public int getSize(){
        return size;
    }

    public boolean isEmpty(){
        return size == 0;
    }
    
    /**
     * 获取节点的平衡因子
     * @param node
     * @return
     */
    private int getBalanceFactor(Node node){
        if(node==null){
            return 0;
        }
        return getHeight(node.left)-getHeight(node.right);
    }
    
    //判断树是否为平衡二叉树
    public boolean isBalanced(){
        return isBalanced(root);
    }

    private boolean isBalanced(Node node){
        if(node==null){
            return true;
        }
        int balanceFactory = Math.abs(getBalanceFactor(node));
        if(balanceFactory>1){
            return false;
        }
        return isBalanced(node.left)&&isBalanced(node.right);
    }
}

三、添加节点导致失衡的四种情况

1.LL型
LL：向左子树插入左孩子(left-left)导致不平衡

image.png

将LL情况抽象出来：

image.png

image.png

/**
 * 右旋转
 */
private Node rightRotate(Node y){
    Node x = y.left;
    Node t3 = x.right;
    x.right = y;
    y.left = t3;
    //更新height
    y.height = Math.max(getHeight(y.left),getHeight(y.right))+1;
    x.height = Math.max(getHeight(x.left),getHeight(x.right))+1;
    return x;
}

2.RR型
RR：向右子树插入右孩子(right-right)导致的不平衡

image.png

将RR情况抽象出来：

image.png

image.png

/**
 * 左旋转
 */
private Node leftRotate(Node y){
    Node x = y.right;
    Node t3 = x.left;
    x.left = y;
    y.right = t3;
    //更新height
    y.height = Math.max(getHeight(y.left),getHeight(y.right))+1;
    x.height = Math.max(getHeight(x.left),getHeight(x.right))+1;
    return x;
}

3.LR型
LR：向左子树插入右孩子导致的不平衡

image.png

将LR情况抽象出来：

image.png

微信图片_20201201141812.png

RL：向右子树插入左孩子导致的不平衡

image.png

image.png

微信图片_20201201142854.png

四、新增节点算法实现

// 向二分搜索树中添加新的元素(key, value)
public void add(E e){
    root = add(root, e);
}

// 向以node为根的二叉查找树中插入元素(key, value)，递归算法
// 返回插入新节点后二叉查找树的根
private Node add(Node node, E e){
    if(node == null){
        size ++;
        return new Node(e);
    }
    if(e.compareTo(node.e) < 0)
        node.left = add(node.left, e);
    else if(e.compareTo(node.e) > 0)
        node.right = add(node.right, e);
    //更新height
    node.height = 1+Math.max(getHeight(node.left),getHeight(node.right));
    //计算平衡因子
    int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
    if(balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left)>0) {
        //右旋LL
        return rightRotate(node);
    }
    if(balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right)<0) {
        //左旋RR
        return leftRotate(node);
    }
    //LR
    if(balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0){
        node.left = leftRotate(node.left);
        return rightRotate(node);
    }
    //RL
    if(balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0){
        node.right = rightRotate(node.right);
        return leftRotate(node);
    }
    return node;
}

五、删除节点算法实现

public E remove(E e){
    Node node = getNode(root, e);
    if(node != null){
        root = remove(root, e);
        return node.e;
    }
    return null;
}

private Node remove(Node node, E e){

    if( node == null )
        return null;
    Node retNode;
    if( e.compareTo(node.e) < 0 ){
        node.left = remove(node.left , e);
        retNode = node;
    }
    else if(e.compareTo(node.e) > 0 ){
        node.right = remove(node.right, e);
        retNode = node;
    }
    else{   // e.compareTo(node.e) == 0
        // 待删除节点左子树为空的情况
        if(node.left == null){
            Node rightNode = node.right;
            node.right = null;
            size --;
            retNode = rightNode;
        }
        // 待删除节点右子树为空的情况
        else if(node.right == null){
            Node leftNode = node.left;
            node.left = null;
            size --;
            retNode = leftNode;
        }else {
            // 待删除节点左右子树均不为空的情况
            // 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
            // 用这个节点顶替待删除节点的位置
            Node successor = minimum(node.right);
            successor.right = remove(node.right, successor.e);
            successor.left = node.left;

            node.left = node.right = null;

            retNode = successor;
        }
    }
    if(retNode==null)
        return null;
    //维护平衡
    //更新height
    retNode.height = 1+Math.max(getHeight(retNode.left),getHeight(retNode.right));
    //计算平衡因子
    int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);
    if(balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left)>=0) {
        //右旋LL
        return rightRotate(retNode);
    }
    if(balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right)<=0) {
        //左旋RR
        return leftRotate(retNode);
    }
    //LR
    if(balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0){
        node.left = leftRotate(retNode.left);
        return rightRotate(retNode);
    }
    //RL
    if(balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0){
        node.right = rightRotate(retNode.right);
        return leftRotate(retNode);
    }
    return retNode;
}

六、AVL树完整代码

public class AVLTree<K extends Comparable<K>, V> {
 
    private class Node {
        public K key;
        public V value;
        public Node left, right;
        private int height;
 
        public Node(K key, V value) {
            this.key = key;
            this.value = value;
            left = null;
            right = null;
            this.height = 1; //因为每次节点刚插入都是叶子节点，高度都是1
        }
    }
 
    private Node root;
    private int size;
 
    public AVLTree(){
        root = null;
        size = 0;
    }
 
    public int size(){
        return size;
    }
 
    public boolean isEmpty(){
        return size == 0;
    }
 
    //判断当前Tree是否为binary search tree
    public boolean isBST() {
        ArrayList<K> keys = new ArrayList<>();
        infixOrder(root, keys); //中序遍历，如果是平衡二叉树，中序遍历就是升序
        for (int i = 0; i < keys.size(); i++) {
            if (keys.get(i-1).compareTo(keys.get(i)) > 0) { //如果当前node小于前一个node的值，返回false
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
 
    private void infixOrder(Node node, ArrayList<K> keys) {
        if (node == null) {
            return;
        }
        infixOrder(node.left, keys);
        keys.add(node.key);
        infixOrder(node.right, keys);
    }
 
    //判断当前tree是否为平衡二叉树
    public boolean isBalanced() {
        return isBalanced(root);
    }
 
    private boolean isBalanced(Node node) {
        if (node == null) {
            return true;
        }
        int isBalanced = getBalanceFactor(node);
        if (Math.abs(isBalanced) > 1) {
            return false;
        }
        return isBalanced(node.left) && isBalanced(node.right);
    }
 
    //获得节点高度
    private int getHeight(Node node) {
        if (node == null) {
            return 0;
        } else {
            return node.height;
        }
    }
    //获得节点平衡因子
    private int getBalanceFactor(Node node) {
        if (node == null) {
            return 0;
        }
        return getHeight(node.left) - getHeight(node.right);
    }
 
    // 向二分搜索树中添加新的元素e
    public void add(K key, V value){
        root = add(root, key, value);
    }
 
    /**
     * 实现右旋
     * y为需要右旋的节点
     * x为需要旋转节点的左子节点
     * z为target1的右子节点
     */
    private Node rightRotate(Node y) {
        Node x = y.left;
        Node z = x.right;
 
        //右旋过程
        x.right = y;
        y.left = z;
 
        //更新height，只有target和target1的高度才会变化，需要先更新target的height，因为target1的height依赖target
        y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
        x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
 
        return x;
    }
 
    /**
     * 实现右旋
     * y为需要左旋的节点
     * x为需要旋转节点的右子节点
     * z为target1的左子节点
     */
    private Node leftRotate(Node y) {
        Node x = y.right;
        Node z = x.left;
 
        //右旋过程
        x.left = y;
        y.right = z;
 
        //更新height，只有target和target1的高度才会变化，需要先更新target的height，因为target1的height依赖target
        y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
        x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
 
        return x;
    }
 
    // 向以node为根的二分搜索树中插入元素e，递归算法
    // 返回插入新节点后二分搜索树的根
    private Node add(Node node, K key, V value){
 
        if(node == null){
            size ++;
            return new Node(key, value);
        }
 
        if(key.compareTo(node.key) < 0)
            node.left = add(node.left, key, value);
        else if(key.compareTo(node.key) > 0)
            node.right = add(node.right, key, value);
        else
            node.value = value;
 
        //更新height
        node.height = Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right)) + 1;
 
        //计算平衡因子
        int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
 
        //平衡维护，balanceFactor > 1表示左子树高度大于右子树的高度，需要右旋
        //LL
        if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0) {
            return rightRotate(node);
        }
 
        //平衡维护，balanceFactor > 1表示右子树高度大于左子树的高度，需要左旋
        //RR
        if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0) {
            return leftRotate(node);
        }
 
        //LR
        if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {
            node.left = leftRotate(node.left);
            return rightRotate(node);
        }
 
        //RL
        if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) < 0) {
            node.right = rightRotate(node.right);
            return leftRotate(node);
        }
 
        return node;
    }
 
    // 看二分AVL树中是否包含元素key
    public boolean contains(K key){
        return contains(root, key);
    }
 
    // 看以node为根的AVL树中是否包含元素value, 递归算法
    private boolean contains(Node node, K key){
 
        if(node == null)
            return false;
 
        if(key.compareTo(node.key) == 0)
            return true;
        else if(key.compareTo(node.key) < 0)
            return contains(node.left, key);
        else // e.compareTo(node.key) > 0
            return contains(node.right, key);
    }
 
    // 寻找二分搜索树的最小元素
    public V minimum(){
        if(size == 0)
            throw new IllegalArgumentException("BST is empty!");
 
        return minimum(root).value;
    }
 
    // 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
    private Node minimum(Node node){
        if(node.left == null)
            return node;
        return minimum(node.left);
    }
 
    // 寻找二分搜索树的最大元素
    public V maximum(){
        if(size == 0)
            throw new IllegalArgumentException("BST is empty");
 
        return maximum(root).value;
    }
 
    // 返回以node为根的二分搜索树的最大值所在的节点
    private Node maximum(Node node){
        if(node.right == null)
            return node;
 
        return maximum(node.right);
    }
 
    // 从二分搜索树中删除元素为e的节点
    public V remove(K key){
        Node node = getNode(root, key);
        if (node != null) {
            root = remove(root, key);
            return node.value;
        }
        return null;
    }
 
    // 删除掉以node为根的二分搜索树中值为e的节点, 递归算法
    // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
    Node remove(Node node, K key){
 
        if( node == null )
            return null;
 
        Node retNode; //保证平衡性，用于返回
        if( key.compareTo(node.key) < 0 ){
            node.left = remove(node.left , key);
            retNode = node;
        }
        else if(key.compareTo(node.key) > 0 ){
            node.right = remove(node.right, key);
            retNode = node;
        }
        else{
            // 待删除节点左子树为空的情况
            if(node.left == null){
                Node rightNode = node.right;
                node.right = null;
                size --;
                retNode = rightNode;
            }
            // 待删除节点右子树为空的情况
            else if(node.right == null){
                Node leftNode = node.left;
                node.left = null;
                size --;
                retNode = leftNode;
            } else {
                // 待删除节点左右子树均不为空的情况
 
                // 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
                // 用这个节点顶替待删除节点的位置
                Node successor = minimum(node.right);
                successor.right = remove(node.right, successor.key);
                successor.left = node.left;
 
                node.left = node.right = null;
                retNode = successor;
            }
        }
 
        if (retNode == null) {
            return null;
        }
        //更新height
        retNode.height = Math.max(getHeight(retNode.left), getHeight(retNode.right)) + 1;
 
        //计算平衡因子
        int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);
 
        //平衡维护，balanceFactor > 1表示左子树高度大于右子树的高度，需要右旋
        //LL
        if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0) {
            return rightRotate(retNode);
        }
 
        //平衡维护，balanceFactor > 1表示右子树高度大于左子树的高度，需要左旋
        //RR
        if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) <= 0) {
            return leftRotate(retNode);
        }
 
        //LR
        if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0) {
            retNode.left = leftRotate(retNode.left);
            return rightRotate(retNode);
        }
 
        //RL
        if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) < 0) {
            retNode.right = rightRotate(retNode.right);
            return leftRotate(retNode);
        }
 
        return retNode;
    }
 
    private Node getNode(Node node, K key) {
        if( node == null )
            return null;
 
        if( key.compareTo(node.key) < 0 ){
            getNode(node.left, key);
        } else if(key.compareTo(node.key) > 0){
            getNode(node.right, key);
        } else {
            return node;
        }
        return null;
    }
 
    @Override
    public String toString(){
        StringBuilder res = new StringBuilder();
        generateBSTString(root, 0, res);
        return res.toString();
    }
 
    // 生成以node为根节点，深度为depth的描述二叉树的字符串
    private void generateBSTString(Node node, int depth, StringBuilder res){
 
        if(node == null){
            res.append(generateDepthString(depth) + "null\n");
            return;
        }
 
        res.append(generateDepthString(depth) + node.key +"\n");
        generateBSTString(node.left, depth + 1, res);
        generateBSTString(node.right, depth + 1, res);
    }
 
    private String generateDepthString(int depth){
        StringBuilder res = new StringBuilder();
        for(int i = 0 ; i < depth ; i ++)
            res.append("--");
        return res.toString();
    }
}

七、总结

总的来说要理解AVL树是有点难度的，重点在于理解四种旋转方式，以及旋转后树的节点该如何重新平衡。
1.LL型：旋转后，失衡点的左孩子的右子树，将成为失衡点的左子树。
2.RR型：旋转后，失衡点的右孩子的左子树，将成为失衡点的右子树。
3.LR型：左旋后，z的左子树成为x的右子树；右旋后，z的右子树成为y的左子树。

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4.RL型：右旋后，z的右子树成为x的左子树；左旋后，z的左子树成为y的右子树。

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